A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada:
Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
usando a troca da ordem de integração.
Conteúdo: integrais duplas, mudança de ordem de integração, integração básica, integração por partes e no fim aparece a função exponencial integral .
Vamos precisar de:
Conteúdo: integrais duplas, mudança de ordem de integração, integração básica, integração por partes e no fim aparece a função exponencial integral .
Vamos precisar de:
- Esboçar a região em
. - Reescrever os limites trocando
. - Integrar em
(é fácil) e depois em : uma parte se faz por partes, outra vira .
Passo 2
Esboço da região
definida por
No plano
é o triângulo com vértices
,
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, olhamos para
primeiro.
-
vai de até . - Para um
fixo, sai de e vai até a reta , mas nunca passando de .
Isto dá dois pedaços:
- Quando
, temos , logo vai de até . - Quando
, então , logo vai de até .
Passo 4
Escrevendo a integral invertida e separando esses dois casos:
Passo 5
Vamos primeiro integrar em
, tratando
como constante:
Então
e
Passo 6
Substituindo de volta:
Ou seja
Passo 7
A segunda integral é elementar. Use integração por partes em
:
- Tome
, então . - Tome
, então .
Fica
Logo
Passo 8
A parte
não é elementar. A gente faz a troca ,
:
não é elementar. A gente faz a troca
Por definição de função exponencial integral ,
.
Logo
.
Logo
e multiplicando por 2 vem
Resposta
Juntando tudo, a integral vale