A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada:
integral0^2 integral0^4-x^prime x e^prime4-y d y d x
Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
usando a troca da ordem de integração.
Conteúdo: integrais duplas, mudança de ordem de integração, integração básica, integração por partes e no fim aparece a função exponencial integral .
Vamos precisar de:
  • Esboçar a região em .
  • Reescrever os limites trocando .
  • Integrar em (é fácil) e depois em : uma parte se faz por partes, outra vira .

Passo 2

Esboço da região R definida por
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 4 - x
No plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,4).

Passo 3

Para inverter a ordem, olhamos para y primeiro.
  • y vai de 0 até 4.
  • Para um y fixo, x sai de 0 e vai até a reta x = 4 - y, mas nunca passando de x=2.
    Isto dá dois pedaços:
  1. Quando 0 <= y <= 2, temos 4 - y >= 2, logo x vai de 0 até 2.
  2. Quando 2 <= y <= 4, então 4 - y <= 2, logo x vai de 0 até 4 - y.

Passo 4

Escrevendo a integral invertida e separando esses dois casos:
I = integraly=0^2!integralx=0^2x,e^y4 - y,dx,dy ;+; integraly=2^4!integralx=0^4 - yx,e^y4 - y,dx,dy

Passo 5

Vamos primeiro integrar em x, tratando y como constante:
integral x,dx = x^22
Então
integralx=0^2x,e^y4 - y,dx = e^y4 - y,l[tfracx^22r]0^2 = e^y4 - ycdot 2^22 = 2,e^y4 - y,
e
integralx=0^4 - yx,e^y4 - y,dx = e^y4 - y,l[tfracx^22r]0^4-y = e^y4 - y,(4 - y)^22 = 4 - y2,e^y

Passo 6

Substituindo de volta:
I = integral0^2 2,e^y4 - y,dy ;+; integral2^4 4 - y2,e^y,dy
Ou seja
I = 2integral0^2e^y4 - y,dy ;+;12integral2^4(4 - y)e^y,dy

Passo 7

A segunda integral é elementar. Use integração por partes em
integral(4 - y)e^y,dy:
  • Tome u = 4 - y, então du = -dy.
  • Tome dv = e^y,dy, então v = e^y.
    Fica
integral(4-y)e^y,dy = (4 - y)e^y - integral(-1),e^y,dy = (4 - y)e^y + integral e^y,dy = (4 - y)e^y + e^y = (5 - y)e^y
Logo
12integral2^4(4 - y)e^y,dy = 12l[(5 - y)e^yr]2^4 = 12l[(5-4)e^4 - (5-2)e^2r] = e^4 - 3e^22

Passo 8

A parte

não é elementar. A gente faz a troca , :
Por definição de função exponencial integral ,
.
Logo
e multiplicando por 2 vem

Resposta

Juntando tudo, a integral vale

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