QUESTÃO 02 | VALOR 3.5
Dado o espaço vetorial
, considere os conjuntos de vetores
e
(contidos no espaço) e um vetor genérico
definido por
.
I. Determine a decomposição de
sobre o subespaço
gerado pelos vetores
e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de
.
II. Determine a decomposição de
sobre o subespaço
gerado pelos vetores
e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de
.
III. Determine a condição que um vetor
deve satisfazer para que quando adicionado a
ele forme um conjunto linearmente independente.
IV. Determine quais vetores de
podem ser adicionados a
para formar uma base de
.
Os conjuntos
e
atribuídos a cada aluno estão dispostos na TABELA II.
Tabela II
I. Determine a decomposição de
II. Determine a decomposição de
III. Determine a condição que um vetor
IV. Determine quais vetores de
Passo 1
Estou com um exercício de Álgebra Linear em \mathbb{R}^{4}. A gente tem três vetores \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 e três vetores \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, além de um vetor genérico \mathbf{z}=(z_1,z_2,z_3,z_4). Precisamos: (I) decompor \mathbf{z} sobre o subespaço gerado por \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} e achar as condições (restrições) que definem esse subespaço; (II) mesmo processo para \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}; (III) achar a condição para que um quarto vetor \mathbf{u}_4=(a,b,c,d) seja linearmente independente de \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}; (IV) descobrir quais de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 posso juntar a \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} para formar base de \mathbb{R}^4. Vamos usar combinação linear e resolver sistemas de equações passo a passo.
Passo 2
I. Para decompor \mathbf{z} em \mathrm{span}(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2), escrevo \mathbf{z}=a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2 e resolvo pelas coordenadas:
Passo 3
As equações coordenada a coordenada são:
Passo 4
Passo 5
Da terceira sai imediatamente \(z_3=0\). Da primeira \(b=-\tfrac{z_1}{4}\). Da segunda \(\tfrac12a-2(-\tfrac{z_1}{4})=z_2\) implica \(a=2z_2-z_1\). Substituindo em \(-\tfrac43a+6b=z_4\) dá
Passo 6
Passo 7
Então o subespaço é dado pelas restrições
Passo 8
Passo 9
II. Agora faço \mathbf{z}=a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2+c\mathbf{u}_3. As equações são:
Passo 10
Passo 11
Da terceira \(c=\tfrac{z_3}{3}\). Da primeira
Passo 12
Passo 13
Da segunda
Passo 14
Passo 15
Substituindo tudo na quarta surge a condição linear
Passo 16
Passo 17
que é a equação que define o subespaço de dimensão 3.
Passo 18
III. Para que \mathbf{u}_4=(a,b,c,d) não fique no span de \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} basta que ele não satisfaça
Passo 19
Passo 20
IV. Testando cada \mathbf{v}_i na equação
Passo 21
Passo 22
vejo que \\mathbf{v}_1 obedece (fica zero), mas \\mathbf{v}_2 e \\mathbf{v}_3 dão não zero. Logo são linearmente independentes de \\{\\mathbf{u}_1,\\mathbf{u}_2,\\mathbf{u}_3\\} e cada uma pode completar a base de \\mathbb{R}^4.
Resposta
I. Decomposição: \mathbf{z}=a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2 com \displaystyle b=-\tfrac{z_1}{4}, \; a=2z_2-z_1. Subespaço: \displaystyle z_3=0 \; e \; z_1+16z_2+6z_4=0.
II. Decomposição: \mathbf{z}=a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2+c\mathbf{u}_3 com \displaystyle c=\tfrac{z_3}{3}, \; b=\tfrac{2z_3-9z_1}{36}, \; a=2z_2+4b-3c. Subespaço: \displaystyle 9z_1+144z_2-62z_3+54z_4=0.
III. Para \mathbf{u}_4=(a,b,c,d) ser LI com \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} é preciso \displaystyle 9a+144b-62c+54d\neq 0.
IV. Dos \mathbf{v}_i, apenas \mathbf{v}_2 e \mathbf{v}_3 não satisfazem a equação do subespaço de dimensão 3, então qualquer um deles pode ser adicionado a U para formar base de \mathbb{R}^4.
II. Decomposição: \mathbf{z}=a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2+c\mathbf{u}_3 com \displaystyle c=\tfrac{z_3}{3}, \; b=\tfrac{2z_3-9z_1}{36}, \; a=2z_2+4b-3c. Subespaço: \displaystyle 9z_1+144z_2-62z_3+54z_4=0.
III. Para \mathbf{u}_4=(a,b,c,d) ser LI com \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} é preciso \displaystyle 9a+144b-62c+54d\neq 0.
IV. Dos \mathbf{v}_i, apenas \mathbf{v}_2 e \mathbf{v}_3 não satisfazem a equação do subespaço de dimensão 3, então qualquer um deles pode ser adicionado a U para formar base de \mathbb{R}^4.