QUESTÃO 02 | VALOR 3.5

Dado o espaço vetorial R^4, considere os conjuntos de vetores U=u1, u2, u3 e V=v1, v2, v3 (contidos no espaço) e um vetor genérico z in R^4 definido por z=(z1, z2, z3, z4).
I. Determine a decomposição de z sobre o subespaço R^2 gerado pelos vetores u1, u2 e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z.
II. Determine a decomposição de z sobre o subespaço R^3 gerado pelos vetores u1, u2, u3 e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z.
III. Determine a condição que um vetor u4=(a, b, c, d) deve satisfazer para que quando adicionado a U ele forme um conjunto linearmente independente.
IV. Determine quais vetores de V podem ser adicionados a U para formar uma base de R^4.
Os conjuntos U e V atribuídos a cada aluno estão dispostos na TABELA II.

Tabela II

& u1=(0, 12, 0,-43) & u2=(-4,-2,0,6) & u3=(23, 32, 3,-23)
& v1=(1, 12, 0,-32) & v2=(34,-3,-1, 13) & v3=(54, 74,-7,1)

Passo 1

Estou com um exercício de Álgebra Linear em \mathbb{R}^{4}. A gente tem três vetores \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 e três vetores \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, além de um vetor genérico \mathbf{z}=(z_1,z_2,z_3,z_4). Precisamos: (I) decompor \mathbf{z} sobre o subespaço gerado por \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} e achar as condições (restrições) que definem esse subespaço; (II) mesmo processo para \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}; (III) achar a condição para que um quarto vetor \mathbf{u}_4=(a,b,c,d) seja linearmente independente de \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}; (IV) descobrir quais de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 posso juntar a \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} para formar base de \mathbb{R}^4. Vamos usar combinação linear e resolver sistemas de equações passo a passo.

Passo 2

I. Para decompor \mathbf{z} em \mathrm{span}(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2), escrevo \mathbf{z}=a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2 e resolvo pelas coordenadas:

Passo 3

As equações coordenada a coordenada são:

Passo 4

0cdot a-4b=z1, tfrac12a-2b=z2, 0cdot a+0cdot b=z3, -tfrac43a+6b=z4

Passo 5

Da terceira sai imediatamente \(z_3=0\). Da primeira \(b=-\tfrac{z_1}{4}\). Da segunda \(\tfrac12a-2(-\tfrac{z_1}{4})=z_2\) implica \(a=2z_2-z_1\). Substituindo em \(-\tfrac43a+6b=z_4\) dá

Passo 6

z4=-tfrac43(2z2-z1)+6l(-tfracz14r)=-tfrac83z2-tfrac16z1

Passo 7

Então o subespaço é dado pelas restrições

Passo 8

z3=0, z1+16z2+6z4=0

Passo 9

II. Agora faço \mathbf{z}=a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2+c\mathbf{u}_3. As equações são:

Passo 10

-4b+tfrac23c=z1, tfrac12a-2b+tfrac32c=z2, 3c=z3, -tfrac43a+6b-tfrac23c=z4

Passo 11

Da terceira \(c=\tfrac{z_3}{3}\). Da primeira

Passo 12

b=2z3-9z136

Passo 13

Da segunda

Passo 14

a=2z2+4b-3c

Passo 15

Substituindo tudo na quarta surge a condição linear

Passo 16

9z1+144z2-62z3+54z4=0,

Passo 17

que é a equação que define o subespaço de dimensão 3.

Passo 18

III. Para que \mathbf{u}_4=(a,b,c,d) não fique no span de \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} basta que ele não satisfaça

Passo 19

9a+144b-62c+54d=0

Passo 20

IV. Testando cada \mathbf{v}_i na equação

Passo 21

9z1+144z2-62z3+54z4=0,

Passo 22

vejo que \\mathbf{v}_1 obedece (fica zero), mas \\mathbf{v}_2 e \\mathbf{v}_3 dão não zero. Logo são linearmente independentes de \\{\\mathbf{u}_1,\\mathbf{u}_2,\\mathbf{u}_3\\} e cada uma pode completar a base de \\mathbb{R}^4.

Resposta

I. Decomposição: \mathbf{z}=a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2 com \displaystyle b=-\tfrac{z_1}{4}, \; a=2z_2-z_1. Subespaço: \displaystyle z_3=0 \; e \; z_1+16z_2+6z_4=0.
II. Decomposição: \mathbf{z}=a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2+c\mathbf{u}_3 com \displaystyle c=\tfrac{z_3}{3}, \; b=\tfrac{2z_3-9z_1}{36}, \; a=2z_2+4b-3c. Subespaço: \displaystyle 9z_1+144z_2-62z_3+54z_4=0.
III. Para \mathbf{u}_4=(a,b,c,d) ser LI com \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} é preciso \displaystyle 9a+144b-62c+54d\neq 0.
IV. Dos \mathbf{v}_i, apenas \mathbf{v}_2 e \mathbf{v}_3 não satisfazem a equação do subespaço de dimensão 3, então qualquer um deles pode ser adicionado a U para formar base de \mathbb{R}^4.

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