Exercício 11. Efetue as operações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão inteira abaixo:
Informações dadas (são os números que aparecem na expressão):
- No numerador aparecem as quantidades
organizadas conforme a fração aninhada. - No denominador aparecem as frações
.
O objetivo é efetuar todas as operações e simplificar a resposta final.
Passo 2
Começo pelo numerador: primeiro simplificar as somas/subtrações internas.
Calcule :
Calcule
logo a primeira parte do numerador é
.
Calcule
:
Calcule
. Para subtrair um inteiro e uma fração convém escrever o inteiro com o mesmo denominador:
então
Agora a fração
vale
porque dividir por
muda o sinal.
Passo 3
Substituindo no numerador temos:
Agora somar duas frações: para somar
escolhemos o denominador comum
(ou o mínimo múltiplo) e reescrevemos:
Somando:
Portanto o numerador simplificado é
.
Passo 4
Agora o denominador da expressão grande:
Para somar várias frações, uso como denominador comum
(múltiplo de
):
Somando:
Logo o denominador da expressão é
.
Passo 5
Agora temos a expressão reduzida a
Regra importante: dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso (recíproco). Ou seja,
Passo 6
Simplifico fatores antes de multiplicar para evitar números grandes. Procuro fatores comuns entre numeradores e denominadores:
-
e têm . Dividindo por :
Assim a expressão fica
Agora verifico possíveis cancelamentos cruzados:
-
não é divisível por nem por (fatores de ), então não cancela com . -
e são primos entre si, nada a cancelar. -
e também são primos entre si ( , ).
Portanto não há mais cancelamentos evidentes entre numerador e denominador.
Passo 7
Faço a multiplicação agora:
Calculo os produtos:
Portanto a fração é
Passo 8
Verifico se a fração pode ser simplificada (ou seja, se existe um divisor comum maior que
). Uso algoritmo de Euclides rápido (raciocínio curto): calcula-se o máximo divisor comum; realizando as divisões encontra-se que não há divisor comum além de
entre
e
. Logo a fração está irredutível.