Exercício 11. Efetue as operações abaixo:
\frac{\frac{6+7}{8}-\frac{9-\frac{10}{11}}{12-13}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão inteira abaixo:
\frac{\dfrac{6+7}{8}-\dfrac{9-\dfrac{10}{11}}{12-13}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}}.
Informações dadas (são os números que aparecem na expressão):
  • No numerador aparecem as quantidades 6,7,8,9,10,11,12,13 organizadas conforme a fração aninhada.
  • No denominador aparecem as frações \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5}.
    O objetivo é efetuar todas as operações e simplificar a resposta final.

Passo 2

Começo pelo numerador: primeiro simplificar as somas/subtrações internas.
Calcule 6+7:
6+7=13,
logo a primeira parte do numerador é \dfrac{13}{8}.
Calcule 12-13:
12-13=-1.
Calcule 9-\dfrac{10}{11}. Para subtrair um inteiro e uma fração convém escrever o inteiro com o mesmo denominador:
9=\dfrac{99}{11},
então
9-\dfrac{10}{11}=\dfrac{99}{11}-\dfrac{10}{11}=\dfrac{89}{11}.
Agora a fração \dfrac{9-\tfrac{10}{11}}{12-13} vale
\frac{\dfrac{89}{11}}{-1}=-\dfrac{89}{11},
porque dividir por -1 muda o sinal.

Passo 3

Substituindo no numerador temos:
\text{numerador}=\dfrac{13}{8}-\left(-\dfrac{89}{11}\right)=\dfrac{13}{8}+\dfrac{89}{11}.
Agora somar duas frações: para somar \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} escolhemos o denominador comum bd (ou o mínimo múltiplo) e reescrevemos:
\dfrac{13}{8}=\dfrac{13\cdot 11}{8\cdot 11}=\dfrac{143}{88}, \qquad \dfrac{89}{11}=\dfrac{89\cdot 8}{11\cdot 8}=\dfrac{712}{88}.
Somando:
\dfrac{143}{88}+\dfrac{712}{88}=\dfrac{143+712}{88}=\dfrac{855}{88}.
Portanto o numerador simplificado é \dfrac{855}{88}.

Passo 4

Agora o denominador da expressão grande:
\text{denominador}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}.
Para somar várias frações, uso como denominador comum 60 (múltiplo de 2,3,4,5):
\dfrac{1}{2}=\dfrac{30}{60},\quad \dfrac{1}{3}=\dfrac{20}{60},\quad \dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{60},\quad \dfrac{1}{5}=\dfrac{12}{60}.
Somando:
\dfrac{30}{60}+\dfrac{20}{60}+\dfrac{15}{60}+\dfrac{12}{60}=\dfrac{30+20+15+12}{60}=\dfrac{77}{60}.
Logo o denominador da expressão é \dfrac{77}{60}.

Passo 5

Agora temos a expressão reduzida a
\frac{\dfrac{855}{88}}{\dfrac{77}{60}}.
Regra importante: dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso (recíproco). Ou seja,
\frac{\dfrac{855}{88}}{\dfrac{77}{60}}=\dfrac{855}{88}\cdot\dfrac{60}{77}.

Passo 6

Simplifico fatores antes de multiplicar para evitar números grandes. Procuro fatores comuns entre numeradores e denominadores:
  • 60 e 88 têm \gcd(60,88)=4. Dividindo por 4:
60\div 4=15,\qquad 88\div 4=22.
Assim a expressão fica
\dfrac{855}{22}\cdot\dfrac{15}{77}.
Agora verifico possíveis cancelamentos cruzados:
  • 855 não é divisível por 2 nem por 11 (fatores de 22), então não cancela com 22.
  • 15 e 22 são primos entre si, nada a cancelar.
  • 15 e 77 também são primos entre si ( 15=3\cdot5, 77=7\cdot11).
    Portanto não há mais cancelamentos evidentes entre numerador e denominador.

Passo 7

Faço a multiplicação agora:
\frac{855}{22}\cdot\frac{15}{77}=\frac{855\cdot 15}{22\cdot 77}.
Calculo os produtos:
855\cdot 15=855\cdot(10+5)=8550+4275=12825,
22\cdot 77=22\cdot(70+7)=1540+154=1694.
Portanto a fração é
\frac{12825}{1694}.

Passo 8

Verifico se a fração pode ser simplificada (ou seja, se existe um divisor comum maior que 1). Uso algoritmo de Euclides rápido (raciocínio curto): calcula-se o máximo divisor comum; realizando as divisões encontra-se que não há divisor comum além de 1 entre 12825 e 1694. Logo a fração está irredutível.

Resposta

\dfrac{12825}{1694}

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