Exercício 11. Encontre d y / d x por derivação implícita.
y=ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado dá a relação
y = lnl(x^2 + y^2r)
e pede tfracdydx por diferenciação implícita. Vamos usar a regra da cadeia para a função ln(u) e lembrar que y depende de x, então ao derivar termos com y aparece tfracdydx.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Na esquerda,
ddx[,y,] = dydx
Na direita, seja u = x^2+y^2. Então
ddxl[ln(u)r] = 1u,dudx = 1x^2+y^2l(2x + 2y,dydxr)
Logo obtemos
dydx = 2x + 2y,tfracdydxx^2+y^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^2+y^2 e agrupamos os termos que contêm tfracdydx:
(x^2+y^2),dydx = 2x + 2y,dydx longrightarrow (x^2+y^2),dydx - 2y,dydx = 2x
l(x^2+y^2 - 2yr),dydx = 2x

Passo 4

Isolando tfracdydx, divide-se por x^2+y^2-2y:
dydx = 2x,x^2 + y^2 - 2y,

Resposta

dydx = 2xx^2 + y^2 - 2y

Exercícios relacionados