Exercício 9. Determine se as retas r e s são iguais nos seguintes casos:
Uma equação vetorial de r é X=(1,1,0)+lambda(1,0,-12), para todo lambda in R e uma equação vetorial de s é X=(0,1, 12)+mu(-2,0,1), para todo mu in R.

Passo 1

O enunciado dá as retas
r:;X = (1,1,0) + lambda,(1,0,-tfrac12), s:;X = l(0,1,tfrac12r) + mu,(-2,0,1)
Queremos decidir se r e s coincidem. Para isso usamos que duas retas em R^3 são iguais se seus vetores direção são colineares e um ponto de uma está na outra.

Passo 2

Verificamos a colinearidade dos vetores
vr = (1,0,-tfrac12), vs = (-2,0,1)
Buscamos kinR tal que k,vr = vs. Pela primeira componente kcdot1 = -2 k=-2. Então
kcdot(-tfrac12) = -2cdot(-tfrac12) = 1,
compatível com a terceira componente de vs. Logo vs = -2,vr, ou seja, as retas são paralelas.

Passo 3

Agora checamos se um ponto de r, por exemplo P=(1,1,0), pertence a s. Procuramos mu tal que
(0,1,tfrac12)+mu,(-2,0,1) = (1,1,0)
Da primeira coordenada -2mu = 1 segue mu=-tfrac12. Com isso a segunda coordenada dá 1+0=1 OK e a terceira dá tfrac12+(-tfrac12)cdot1=0, também OK. Portanto Pin s.

Resposta

As retas r e s são iguais.

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