Exercício 9. Determine se as retas r e s são iguais nos seguintes casos:
As equações paramétricas de r são dadas por:
x & =13-lambda y & =-13+lambda z & =23-lambda
para todo lambda real e as equações paramétricas de s são dadas por:
x=1-mu y=-1+mu z=2-mu
para todo mu real.

Passo 1

Beleza, o enunciado mostra duas retas r e s em forma paramétrica e pede para ver se elas são exatamente a mesma reta. Em geometria analítica sabemos que duas retas no espaço são iguais se, e somente se, elas têm o mesmo vetor diretor (logo são paralelas ou coincidentes) e compartilham ao menos um ponto. Então vamos extrair diretores e pontos, comparar vetores e depois checar se existe um ponto em comum.

Passo 2

Para a reta r, as equações são
x=tfrac13-lambda, y=-tfrac13+lambda, z=tfrac23-lambda
Dessa forma o vetor diretor de r é
vr = (-1,;1,;-1),
e um ponto que pertence a r vem de lambda=0, ou seja
Pr = l(tfrac13,,-tfrac13,;tfrac23r)

Passo 3

Para a reta s, temos
x=1-mu, y=-1+mu, z=2-mu
Logo o vetor diretor é
vs = (-1,;1,;-1),
e tomando mu=0 obtemos o ponto de ancoragem
Ps = (1,,-1,,2)

Passo 4

Vimos que
Dos dois primeiros equações vem , o que é impossível. Portanto não existe ponto em comum.

Resposta

As retas r e s têm o mesmo vetor diretor (são paralelas), mas não se intersectam em nenhum ponto. Logo são paralelas e distintas, isto é, não são iguais.

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