Exercício 9. Determine se as retas
e
são iguais nos seguintes casos:
As equações paramétricas de
são dadas por:
para todo
real e as equações paramétricas de
são dadas por:
para todo
real.
As equações paramétricas de
Passo 1
Beleza, o enunciado mostra duas retas
e
em forma paramétrica e pede para ver se elas são exatamente a mesma reta. Em geometria analítica sabemos que duas retas no espaço são iguais se, e somente se, elas têm o mesmo vetor diretor (logo são paralelas ou coincidentes) e compartilham ao menos um ponto. Então vamos extrair diretores e pontos, comparar vetores e depois checar se existe um ponto em comum.
Passo 2
Para a reta
, as equações são
Dessa forma o vetor diretor de
é
e um ponto que pertence a
vem de
, ou seja
Passo 3
Para a reta
, temos
Logo o vetor diretor é
e tomando
obtemos o ponto de ancoragem
Passo 4
Vimos que
Dos dois primeiros equações vem , o que é impossível. Portanto não existe ponto em comum.
Resposta
As retas
e
têm o mesmo vetor diretor (são paralelas), mas não se intersectam em nenhum ponto. Logo são paralelas e distintas, isto é, não são iguais.