Exercício 11. Escreva equações vetoriais, paramétricas e gerais para os planos descritos abaixo: passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor , onde e .
Passo 1
O enunciado pede as equações do plano que passa pelos pontos e em coordenadas canônicas, e é paralelo ao vetor .
Conteúdo: geometria analítica no espaço. Vamos precisar de dois vetores diretores do plano (um é e o outro é vec v) e depois obter um vetor normal por produto vetorial para a forma geral.
Passo 2
Calcular o vetor AB:
AB = B - A = (1,-1,-1) - (1,1,0) = (0,-2,-1)
Logo, dois vetores diretores do plano são vec d1 = (0,-2,-1) e vec d2 = (2,1,0).
Passo 3
Equação vetorial do plano:
r(s,t) = A + s,vec d1 + t,vec d2 com (s,tin R),
ou seja
r(s,t) = (1,1,0) + s,(0,-2,-1) + t,(2,1,0)
Passo 4
Equações paramétricas: basta escrever cada componente de r(s,t):
x = 1 + 0cdot s + 2,t = 1 + 2t, y = 1 - 2,s + 1cdot t = 1 - 2s + t, z = 0 - 1cdot s + 0cdot t = -s
Passo 5
Para a forma geral precisamos de um vetor normal vec n. Fazemos o produto vetorial
vec n = vec d1 times vec d2 = (0,-2,-1)times(2,1,0)