Exercício 11. Escreva equações vetoriais, paramétricas e gerais para os planos descritos abaixo:
pi passa pelos pontos A e B e é paralelo ao vetor v, onde
[A]S=(1,1,0),[B]S=(1,-1,-1) e [v]B=(2,1,0).

Passo 1

O enunciado pede as equações do plano pi que passa pelos pontos
A=(1,1,0) e B=(1,-1,-1) em coordenadas canônicas, e é paralelo ao vetor vec v=(2,1,0).
Conteúdo: geometria analítica no espaço. Vamos precisar de dois vetores diretores do plano (um é AB e o outro é vec v) e depois obter um vetor normal por produto vetorial para a forma geral.

Passo 2

Calcular o vetor AB:
AB = B - A = (1,-1,-1) - (1,1,0) = (0,-2,-1)
Logo, dois vetores diretores do plano são
vec d1 = (0,-2,-1) e vec d2 = (2,1,0).

Passo 3

Equação vetorial do plano:
r(s,t) = A + s,vec d1 + t,vec d2 com (s,tin R),
ou seja
r(s,t) = (1,1,0) + s,(0,-2,-1) + t,(2,1,0)

Passo 4

Equações paramétricas: basta escrever cada componente de r(s,t):
x = 1 + 0cdot s + 2,t = 1 + 2t, y = 1 - 2,s + 1cdot t = 1 - 2s + t, z = 0 - 1cdot s + 0cdot t = -s

Passo 5

Para a forma geral precisamos de um vetor normal vec n. Fazemos o produto vetorial
vec n = vec d1 times vec d2 = (0,-2,-1)times(2,1,0)
Computando pelo determinante:
vec n = l((-2)cdot0 - (-1)cdot1,; -,l(0cdot0 - (-1)cdot2r),; 0cdot1 - (-2)cdot2r) = (1,,-2,,4)

Passo 6

A equação geral do plano é
vec ncdotl((x,y,z)-Ar)=0 Longrightarrow (1,-2,4)cdotl(x-1,y-1,z-0r)=0
Expandindo:
1(x-1) -2(y-1) +4(z-0)=0 ;;Longrightarrow;; x -1 -2y +2 +4z =0 ;;Longrightarrow;; x -2y +4z +1 =0

Resposta

Equação vetorial:
r(s,t) = (1,1,0) + s,(0,-2,-1) + t,(2,1,0)
Equações paramétricas:
x = 1 + 2t, y = 1 - 2s + t, z = -s
Forma geral (cartesiana):
x - 2y + 4z +1 = 0

Exercícios relacionados