Seja P um ponto de uma hipérbole H de focos e . Mostre que a reta tangente a H em P é a bissetriz do ângulo . Assim, todo raio que parte de um ponto , pertence à reta que passa por e P e situado na região não focal de H , será refletido no ponto P pela hipérbole num raio que intersecta o outro ramo da hipérbole no ponto de interseção, diferente de , de H com a reta que passa por e .
Passo 1
O enunciado trata da propriedade refletora da hipérbole com focos e . Primeiro vamos mostrar que, em um ponto genérico de , a reta tangente é a bissetriz do ângulo . Para isso usaremos a equação implícita da hipérbole
sabendo que e que os focos estão em . Em seguida aplicaremos a lei da reflexão (ângulos iguais em relação à normal) para concluir a propriedade óptica da hipérbole.
Passo 2
Derivando implicitamente
temos
No ponto a inclinação da reta tangente é
As retas e têm inclinações
Passo 3
Para medir o ângulo entre duas retas de coeficientes angulares e usamos
Substituindo m e m1 e usando a relação da hipérbole ;b^2x0^2-a^2y0^2=a^2b^2,
após simplificar encontramos
tanphi1=b^2c,|y0|
Passo 4
Fazendo o mesmo para o ângulo entre a tangente (m) e PF2 (m2),
tanphi2 =|m-m21+m,m2|
obtém-se novamente
tanphi2=b^2c,|y0|
Como tanphi1=tanphi2, segue phi1=phi2. Logo a reta tangente em P bisseta widehatF1PF2.
Passo 5
A lei da reflexão diz que o raio incidente forma com a normal o mesmo ângulo que o raio refletido. Como a tangente é bissetriz do ângulo entre os vetores PF1 e PF2, um raio vindo de F1 até P reflete ao longo da direção PF2.
Se, em vez de partir exatamente de F1, temos um ponto Q na região não focal sobre a reta F1P, o raio QP chega em P com a mesma direção de F1P. Pela propriedade de reflexão, ele sai de P na direção de PF2 e, seguindo essa reta r2, intersecta o outro ramo da hipérbole num ponto diferente de P.
Resposta
Mostramos que a tangente em P bisseta widehatF1PF2 e, pela lei da reflexão, todo raio incidente de Q (sobre F1P) é refletido na direção de PF2, atingindo o outro ramo de H na interseção de H com r2.