Seja P um ponto de uma hipérbole H de focos F1 e F2. Mostre que a reta tangente a H em P é a bissetriz do ângulo widehatF1 P F2. Assim, todo raio que parte de um ponto Q, pertence à reta que passa por F1 e P e situado na região não focal de H , será refletido no ponto P pela hipérbole num raio que intersecta o outro ramo da hipérbole no ponto de interseção, diferente de P, de H com a reta r2 que passa por F2 e P.

Passo 1

O enunciado trata da propriedade refletora da hipérbole H com focos F1 e F2. Primeiro vamos mostrar que, em um ponto genérico P=(x0,y0) de H, a reta tangente é a bissetriz do ângulo widehatF1PF2. Para isso usaremos a equação implícita da hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1,
sabendo que c^2=a^2+b^2 e que os focos estão em (pm c,0). Em seguida aplicaremos a lei da reflexão (ângulos iguais em relação à normal) para concluir a propriedade óptica da hipérbole.

Passo 2

Derivando implicitamente
x^2a^2-y^2b^2=1
temos
2xa^2-2yb^2,y'=0 Longrightarrow y'=b^2xa^2y
No ponto P=(x0,y0) a inclinação da reta tangente é
m=b^2x0a^2y0
As retas PF1 e PF2 têm inclinações
m1=y0-0x0-(-c)=y0x0+c, m2=y0x0-c

Passo 3

Para medir o ângulo entre duas retas de coeficientes angulares m e m1 usamos
tanphi1 =|m1-m1+m1m|
Substituindo m e m1 e usando a relação da hipérbole
;b^2x0^2-a^2y0^2=a^2b^2,
após simplificar encontramos
tanphi1=b^2c,|y0|

Passo 4

Fazendo o mesmo para o ângulo entre a tangente ( m) e PF2 ( m2),
tanphi2 =|m-m21+m,m2|
obtém-se novamente
tanphi2=b^2c,|y0|
Como tanphi1=tanphi2, segue phi1=phi2. Logo a reta tangente em P bisseta widehatF1PF2.

Passo 5

A lei da reflexão diz que o raio incidente forma com a normal o mesmo ângulo que o raio refletido. Como a tangente é bissetriz do ângulo entre os vetores PF1 e PF2, um raio vindo de F1 até P reflete ao longo da direção PF2.
Se, em vez de partir exatamente de F1, temos um ponto Q na região não focal sobre a reta F1P, o raio QP chega em P com a mesma direção de F1P. Pela propriedade de reflexão, ele sai de P na direção de PF2 e, seguindo essa reta r2, intersecta o outro ramo da hipérbole num ponto diferente de P.

Resposta

Mostramos que a tangente em P bisseta widehatF1PF2 e, pela lei da reflexão, todo raio incidente de Q (sobre F1P) é refletido na direção de PF2, atingindo o outro ramo de H na interseção de H com r2.

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