Exercício 11 (Estudo de um triângulo) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath ). Considere-se um triângulo triang<= A B C com vértices de coordenadas A(6,0), B(4,8), C(-4,0).
11.4 Calcular o valor de cos (widehatA B C).

Passo 1

Aqui temos um triângulo triang<= ABC com vértices
A(6,0), B(4,8), C(-4,0),
e o que a gente quer é o cosseno do ângulo em B, ou seja cos(widehatABC). Para isso vamos usar geometria analítica: representamos o ângulo em B pelos vetores BA e BC e aplicamos a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Calculamos os vetores BA e BC subtraindo as coordenadas de B:
BA = A - B = (6-4,;0-8) = (2,-8),
BC = C - B = (-4-4,;0-8) = (-8,-8)

Passo 3

O produto escalar entre BA e BC é
BAcdotBC = (2)cdot(-8) + (-8)cdot(-8) = -16 + 64 = 48

Passo 4

Agora calculamos as normas:
|BA| = raiz2^2 + (-8)^2 = raiz4 + 64 = raiz68 = 2raiz17,
|BC| = raiz(-8)^2 + (-8)^2 = raiz64 + 64 = raiz128 = 8raiz2

Passo 5

Pela definição de cosseno de ângulo entre vetores,
cos(widehatABC) = BAcdotBC |BA|;|BC| = 48(2raiz17)(8raiz2) = 4816raiz34 = 3raiz34

Passo 6

Se quisermos racionalizar o denominador, obtemos
3raiz34 = 3raiz3434

Resposta

cos(widehatABC) = 3raiz34 l(= tfrac3raiz3434r)

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