Exercício 14 (Paralelepípedo) Considere-se um paralelepípedo A B C D E F G H. Sejam I, J os respectivos pontos médios dos segmentos [AD], [CD].
14.2 Mostrar que as retas (H J) e (C G) são concorrentes; denote-se por Y seu ponto de interseção.

Passo 1

O enunciado trata de um paralelepípedo A B C D E F G H. Definimos I e J como pontos médios de [AD] e [CD], respectivamente. Queremos mostrar que a reta que passa por H e J e a reta que passa por C e G têm um ponto em comum. O conteúdo principal é geometria vetorial no espaço: vamos usar um sistema de coordenadas vetoriais e a representação paramétrica de retas para encontrar a interseção.

Passo 2

Escolhemos como origem o vértice A e representamos os três arestas que saem de A pelos vetores
AB = b, AD = d, AE = e
Assim, qualquer ponto do paralelepípedo é soma de A com combinações desses vetores.

Passo 3

Expressamos em coordenadas vetoriais os pontos envolvidos:
D = A + d, B = A + b, C = B + d = A + ( b + d),
E = A + e, H = E + d = A + ( d + e), G = C + e = A + ( b + d + e)
E como J é o ponto médio de [CD],
J = C + D2 = A + l( b + 2 d2r) = A + l(tfrac12 b + dr)

Passo 4

Escrevemos as equações paramétricas das retas:
1. Reta HJ: ponto em H mais parâmetro lambda em direção a J-H:
rHJ(lambda) = H + lambda,(J - H) = A + ( d + e) + lambdal[l(tfrac12 b + dr) - ( d + e)r]
rHJ(lambda) = A + l[ d + e + lambdal(tfrac12 b - er)r] = A + l( d + (1-lambda) e + tfraclambda2 br)
2. Reta CG: ponto em C mais parâmetro mu em direção a G-C:
rCG(mu) = C + mu,(G - C) = A + ( b + d) + mul[( b + d + e) - ( b + d)r]
rCG(mu) = A + l( b + d + mu, er)

Passo 5

Para haver interseção, existe lambda,mu tais que
rHJ(lambda)=rCG(mu)
Isso dá, retirando o A e agrupando coeficientes de b, d, e:
d + (1-lambda) e + tfraclambda2 b ;=; b + d + mu, e
Comparando coordenadas em cada direção:
  • Direção d: coeficiente 1 em ambos os lados (OK).
  • Direção b: tfraclambda2 = 1 Rightarrow lambda = 2.
  • Direção e: 1-lambda = mu Rightarrow mu = 1 - 2 = -1.
Como encontramos solução única (lambda,mu)=(2,-1), as retas se cruzam num ponto. Substituindo em rCG(mu), o ponto de interseção é
Y = A + l( b + d + (-1) er) = A + ( b + d - e)

Resposta

As retas (HJ) e (CG) se intersectam no ponto
Y = A + ( b + d - e)
Logo, são concorrentes em Y.

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