Exercício 14 (Paralelepípedo) Considere-se um paralelepípedo
. Sejam
,
os respectivos pontos médios dos segmentos [AD], [CD].
14.2 Mostrar que as retas
e
são concorrentes; denote-se por
seu ponto de interseção.
14.2 Mostrar que as retas
Passo 1
O enunciado trata de um paralelepípedo
. Definimos
e
como pontos médios de
e
, respectivamente. Queremos mostrar que a reta que passa por
e
e a reta que passa por
e
têm um ponto em comum. O conteúdo principal é geometria vetorial no espaço: vamos usar um sistema de coordenadas vetoriais e a representação paramétrica de retas para encontrar a interseção.
Passo 2
Escolhemos como origem o vértice
e representamos os três arestas que saem de
pelos vetores
Assim, qualquer ponto do paralelepípedo é soma de
com combinações desses vetores.
Passo 3
Expressamos em coordenadas vetoriais os pontos envolvidos:
E como
é o ponto médio de
,
Passo 4
Escrevemos as equações paramétricas das retas:
Passo 5
Para haver interseção, existe
tais que
Isso dá, retirando o
e agrupando coeficientes de
:
Comparando coordenadas em cada direção:
- Direção
: coeficiente em ambos os lados (OK). - Direção
: . - Direção
: .
Como encontramos solução única
, as retas se cruzam num ponto. Substituindo em
, o ponto de interseção é
Resposta
As retas
e
se intersectam no ponto
Logo, são concorrentes em
.