Exercício 9 (Combinação linear) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath ). Considerem-se os pontos A, B, C, R, S, T. Note-se que o segmento [A C] está dividido em três partes congruentes; e o segmento [B C] está dividido em cinco partes congruentes.
9.3 Escrever os vetores R S e R T como combinação linear dos vetores A B e A C.

Passo 1

O enunciado situa em um sistema ortonormal (O,vecimath,vecjmath) três pontos A,B,C e dois pontos R,S sobre o segmento [AC] de modo que AR=RS=SC, e um ponto T sobre o segmento [BC] dividido em cinco partes iguais (ou seja, BT=TC/5). Pede-se expressar RS e RT como combinação linear de AB e AC.

Passo 2

Como R e S dividem [AC] em três partes iguais, seus vetores posição a partir de A são
AR = 13,AC, AS = 23,AC

Passo 3

Então
RS = AS - AR = 23,AC - 13,AC = 13,AC

Passo 4

Para T, dividindo [BC] em cinco partes iguais, tem-se
BT = 15,BC = 15l(AC-ABr)
Como OT = OB + BT e OB - OA = AB, obtemos
AT = AB + 15l(AC-ABr) = 45,AB + 15,AC

Passo 5

Como AR = dfrac13,AC, temos
RT = AT - AR = l(45,AB + 15,ACr) - 13,AC = 45,AB + l(15-13r)AC = 45,AB - 215,AC

Resposta

RS = 13,AC, RT = 45,AB ;-;215,AC

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