Exercício 11 (Estudo de um triângulo) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath ). Considere-se um triângulo triang<= A B C com vértices de coordenadas A(6,0), B(4,8), C(-4,0).
11.6 Calcular o valor de sen (widehatA B C).

Passo 1

O enunciado dá um triângulo triang<= ABC no plano com vértices
A(6,0), B(4,8) e C(-4,0), e pede o valor de sen(widehatABC), ou seja, o seno do ângulo no vértice B. Vamos usar geometria vetorial para isso.

Passo 2

Definimos os vetores que formam esse ângulo em B:
BA = A - B, BC = C - B
Em coordenadas:
BA = (6-4,;0-8) = (2,-8),
BC = (-4-4,;0-8) = (-8,-8)

Passo 3

Calculamos os comprimentos (normas) desses vetores:
|BA| = raiz2^2 + (-8)^2 = raiz4 + 64 = 2raiz17,
|BC| = raiz(-8)^2 + (-8)^2 = raiz64 + 64 = 8raiz2

Passo 4

No plano, o seno do ângulo theta = widehatABC é dado por
sentheta = l|BAtimes BCr||BA|;|BC|,
onde
BAtimes BC = (2),(-8) - (-8),(-8) = -16 - 64 = -80,
e seu módulo é l|-80r| = 80.

Passo 5

Substituindo:
sen(widehatABC) = 80(2raiz17)(8raiz2) = 8016raiz34 = 5raiz34
(pode racionalizar para 5raiz3434, se quiser).

Resposta

sen(widehatABC) = 5raiz34

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