Exercício 5 (Paralelogramo) Considere-se um paralelogramo ; considerem-se os pontos , definidos por ; I é o ponto médio do segmento [B C]; o ponto E é simétrico de I em relação ao ponto B.
5.3 Expressar D F e D E em função de C B e de A B; justificar.
Passo 1
Temos um paralelogramo ABCD. Definimos:
F no segmento AB tal que AF=tfrac23AB.
I ponto médio de BC, logo BI=tfrac12BC.
E é o simétrico de I em relação a B, ou seja BE=-BI.
Vamos usar soma de vetores, a propriedade de lados opostos de paralelogramo (AD=BC) e definição de simetria para escrever DF e DE em função de AB e CB.
Passo 2
Calcular DF.
Temos
DF=DA+AF
Em um paralelogramo, AD=BC, então
DA=-AD=-BC
E dado AF=tfrac23AB, concluímos
DF =-BC+tfrac23AB =CB+tfrac23AB
Passo 3
Calcular DE.
Usamos
DE=DB+BE
De novo DB=DA+AB =-BC+AB
E como BE=-BI=-tfrac12BC, obtemos
DE =(AB-BC) -tfrac12BC =AB-tfrac32BC =AB+tfrac32CB