Exercício 5 (Paralelogramo) Considere-se um paralelogramo A B C D; considerem-se os pontos F, I, E, definidos por A F=23 A B; I é o ponto médio do segmento [B C]; o ponto E é simétrico de I em relação ao ponto B.
5.3 Expressar D F e D E em função de C B e de A B; justificar.

Passo 1

Temos um paralelogramo ABCD. Definimos:
  • F no segmento AB tal que AF=tfrac23AB.
  • I ponto médio de BC, logo BI=tfrac12BC.
  • E é o simétrico de I em relação a B, ou seja BE=-BI.
Vamos usar soma de vetores, a propriedade de lados opostos de paralelogramo ( AD=BC) e definição de simetria para escrever DF e DE em função de AB e CB.

Passo 2

Calcular DF.
Temos
DF=DA+AF
Em um paralelogramo, AD=BC, então
DA=-AD=-BC
E dado AF=tfrac23AB, concluímos
DF =-BC+tfrac23AB =CB+tfrac23AB

Passo 3

Calcular DE.
Usamos
DE=DB+BE
De novo DB=DA+AB =-BC+AB
E como BE=-BI=-tfrac12BC, obtemos
DE =(AB-BC) -tfrac12BC =AB-tfrac32BC =AB+tfrac32CB

Resposta

DF=CB+tfrac23AB, DE=AB+tfrac32CB

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