Seja
. Verifique se os subconjuntos
de
são subespaços. Justifique suas respostas.
.
Passo 1
O enunciado diz que
e que
Precisamos verificar se
é subespaço de
. Para isso, basta checar três propriedades:
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero:
. Como
segue que
. Logo, a primeira condição está ok.
Passo 3
Vamos testar a soma. Tome por exemplo
e
Então
Para que
estivesse em
, precisaríamos de
o que é falso. Assim,
, falhando a segunda condição.
Passo 4
Para reforçar, podemos também ver que não há fechadura para escalar. Pegue
e o escalar
. Então
Mas
, logo
, violando a terceira condição.