Seja V=R^2. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas respostas.
W=(x, y) in R^2 ; x=|y|.

Passo 1

O enunciado diz que V=R^2 e que
W = (x,y)inR^2 mid x = |y|
Precisamos verificar se W é subespaço de V. Para isso, basta checar três propriedades:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero: (0,0). Como
0 = |0|,
segue que (0,0)in W. Logo, a primeira condição está ok.

Passo 3

Vamos testar a soma. Tome por exemplo
v1 = (1,1)in Wpois 1 = |1|,
e
v2 = (1,-1)in Wpois 1 = |-1|
Então
v1 + v2 = (1+1,;1+(-1)) = (2,0)
Para que (2,0) estivesse em W, precisaríamos de
2 = |0| = 0,
o que é falso. Assim, v1+v2notin W, falhando a segunda condição.

Passo 4

Para reforçar, podemos também ver que não há fechadura para escalar. Pegue
v = (1,1)in W
e o escalar lambda = -1. Então
lambda v = (-1),(1,1) = (-1,-1)
Mas -1 neq |-1| = 1, logo lambda vnotin W, violando a terceira condição.

Resposta

W não é subespaço de R^2, pois falha em ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados