Exercício 12 (Verdadeiro ou Falso) Sejam pontos do plano. Responder por verdadeiro ou falso às proposições seguintes.
12.7 Se então C é ponto médio de [A B].
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação “Se AC=BC então C é o ponto médio de [AB]” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve geometria vetorial e a definição de ponto médio em termos de vetores.
Passo 2
Lembrando a definição vetorial de ponto médio: um ponto M é o ponto médio de [AB] se, e somente se,
AM=MB
Em particular, para M=C teríamos
AC=CB
Passo 3
Comparando com a hipótese dada, AC=BC, note que
BC=-,CB
Logo
AC=BC Long<=ftrightarrow AC=-,CB,
que é bem diferente de AC=CB. De fato, a igualdade AC=BC só é possível quando ,A=B, caso em que o segmento [AB] é degenerado.
Passo 4
Para ver que a implicação falha, basta um exemplo degenerado. Seja
A=(0,0), B=(0,0), C=(1,0)
Então AC=(1,0)=BC, mas o segmento [AB] reduz-se ao ponto (0,0), de modo que C não pode ser seu ponto médio.