Exercício 11. Fatore completamente os polinômios dados a seguir.
9 x^5-51 x^4+94 x^3-74 x^2+25 x-3

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio
9x^5-51x^4+94x^3-74x^2+25x-3
O tema é fatoração de polinômios usando o Teorema das Raízes Racionais e divisão sintética.

Passo 2

Pelos divisores de -3 sobre os de 9, as possíveis raízes racionais são
pm1,pm3,pm13,pm19. Testando x=1:
9-51+94-74+25-3=0,
logo x=1 é raiz e (x-1) é fator.

Passo 3

Dividindo por (x-1) via divisão sintética nos coeficientes (9,-51,94,-74,25,-3) com x=1, obtemos o quártico
9x^4 -42x^3 +52x^2 -22x +3
Testando de novo x=1 nesse quártico:
9-42+52-22+3=0,
logo repetimos o fator (x-1) e sobra o cúbico
9x^3 -33x^2 +19x -3

Passo 4

No cúbico, testamos x=3:
9cdot27 -33cdot9 +19cdot3 -3 =243 -297 +57 -3 =0,
portanto (x-3) é fator. A divisão sintética de (9,-33,19,-3) por x=3 deixa a quadrática
9x^2 -6x +1

Passo 5

Para a quadrática, calculemos o discriminante:
De<a = (-6)^2 -4cdot9cdot1 =36 -36 =0,
logo é um quadrado perfeito e fatora como
9x^2 -6x +1 = (3x-1)^2

Resposta

9x^5-51x^4+94x^3-74x^2+25x-3 = (x-1)^2,(x-3),(3x-1)^2

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