Questão 26: Uma empresa produz garrafas térmicas com função de custo:
C=300+q^{2}
O preço de mercado é de \mathrm{R} \ 60,00$ por unidade.
a) Quantas unidades devem ser produzidas para obter o maior lucro?
b) Qual será o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de custo C = 300 + q^{2} e o preço de venda fixo em R\$\,60 por unidade. Precisamos determinar (a) a quantidade q que maximiza o lucro e (b) o valor desse lucro. Vamos usar os conceitos de receita, lucro e otimização de parábola.

Passo 2

A receita total é
R(q) = 60\,q.
O lucro é a diferença entre receita e custo, ou seja
\Pi(q) = R(q) - C(q) = 60q - \bigl(300 + q^{2}\bigr) = -q^{2} + 60q - 300.

Passo 3

Como \Pi(q) é uma parábola côncava (coeficiente de q^{2} negativo), seu máximo está no vértice. A abscissa do vértice de ax^{2}+bx+c é
q^{*} = -\frac{b}{2a}.
Aqui a = -1 e b = 60, logo
q^{*} = -\frac{60}{2\cdot(-1)} = 30.

Passo 4

Para achar o lucro máximo, substituímos q^{*}=30 em \Pi(q):
\Pi(30) = -30^{2} + 60\cdot30 - 300 = -900 + 1800 - 300 = 600.

Resposta

(a) 30 unidades.
(b) R\$\,600.

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