Exercício 15 Mostre que toda função
contínua num retângulo
é integrável nesse retângulo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
contínua no retângulo
. O que se pede é: mostrar que
é integrável nesse retângulo.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função
é contínua em todo o conjunto . - O conjunto
é um retângulo fechado e limitado.
O objetivo final é provar formalmente que existe a integral desobre , isto é, que a diferença entre a soma superior e a soma inferior (para partições suficientemente refinadas) pode ser feita arbitrariamente pequena.
Passo 2
Definição precisa do que significa “integrável” (critério que vamos usar). Seja uma partição
do retângulo
em subretângulos
. Para cada
definimos:
A área do subretângulo
denota-se por
. Então a soma superior e a soma inferior relativas à partição
são
Definição de integrabilidade (Darboux/Riemann):
é integrável em
se, para todo
, existe uma partição
tal que
Vou trabalhar para demonstrar exatamente essa propriedade.
Passo 3
Usar a continuidade em conjunto fechado e limitado para obter uniformidade. Teorema (Heine–Cantor, enunciado e explicação): se
é contínua em um conjunto compacto (aqui
é compacto), então
é uniformemente contínua nesse conjunto. Explicação curta e didática do que isso quer dizer:
- Continuidade em um ponto significa: para cada
existe (que pode depender do ponto) tal que se a distância entre e o ponto for menor que então . - Uniforme-continuidade significa: para cada
existe (o mesmo para todo o retângulo) tal que para quaisquer dois pontos e do retângulo, se a distância euclidiana
então
Rascunho de prova (intuição): se não fosse uniformemente contínua existiria uma sequência de pares de pontos cada vez mais próximos onde as diferenças de
são maiores que um limite fixo; pelo compacto conseguimos uma subsequência convergente e aí a continuidade no ponto limite dá contradição. Essa é a razão pela qual a continuidade no retângulo compacto passa para uniformidade.
Passo 4
Conectar uniformidade de
com o controle da oscilação em cada subretângulo. Seja
a área total do retângulo:
Tomemos um
arbitrário e queremos construir uma partição
tal que
. A ideia é:
- Primeiro escolhemos um número
de forma que, se a oscilação (diferença entre máximo e mínimo) de em cada subretângulo for ≤ , então a diferença total será ≤ . Uma escolha conveniente é
Explicação: se em cada subretângulo
temos
, então
Portanto basta garantir que a oscilação em cada subretângulo seja ≤
.
Passo 5
Aplicar uniformidade para garantir pequena oscilação local. Pela uniformidade de
(Passo 3), existe
tal que, para quaisquer
e
no retângulo,
Isto implica que, se um subretângulo
tiver diâmetro (isto é, a maior distância entre dois pontos do subretângulo) menor que
, então a oscilação de
nesse
será menor que
, ou seja
.
Passo 6
Construir explicitamente uma partição com subretângulos de diâmetro pequeno. Para garantir que cada subretângulo tenha diâmetro
basta escolher uma partição
obtida cortando o intervalo
em
subintervalos e
em
subintervalos de modo que o maior comprimento de subintervalo em
-direção e em
-direção seja menor que
. Justificativa:
- Se
e são os comprimentos dos lados de um subretângulo, sua diagonal (diâmetro) é . - Se
e então
Logo basta refinar a partição tomando
e
suficientemente grandes para que todos os
e
fiquem abaixo de
. Como
e
são intervalos compactos isso é sempre possível (dividindo em suficientes partes iguais, por exemplo).
Passo 7
Concluir a estimativa
. Escolhendo a partição
como no passo anterior, todos os subretângulos
têm diâmetro
, logo por uniformidade
. Assim, usando o cálculo do Passo 4,
Portanto, para o
dado encontramos uma partição
(bastou escolher
grandes o suficiente) que satisfaz a condição de integrabilidade.
Passo 8
Resumo final do argumento e observações práticas. Recapitulando de forma direta:
-
contínua em implica uniformemente contínua nesse retângulo. - Dada qualquer
escolhe-se . - Uniformidade dá
tal que pontos com distância têm variação de menor que . - Particiona-se
em subretângulos com diâmetro ; então em cada subretângulo . - Isso implica
. Logo é integrável.
Resposta
A função
é integrável em
.