Exercício 15 Mostre que toda função z=f(x, y) contínua num retângulo [a, b] \times[c, d] é integrável nesse retângulo.

Passo 1

O enunciado nos dá a função z=f(x,y) contínua no retângulo [a,b]\times[c,d]. O que se pede é: mostrar que f é integrável nesse retângulo.
Informações dadas:
  • A função f é contínua em todo o conjunto [a,b]\times[c,d].
  • O conjunto [a,b]\times[c,d] é um retângulo fechado e limitado.
    O objetivo final é provar formalmente que existe a integral de f sobre [a,b]\times[c,d], isto é, que a diferença entre a soma superior e a soma inferior (para partições suficientemente refinadas) pode ser feita arbitrariamente pequena.

Passo 2

Definição precisa do que significa “integrável” (critério que vamos usar). Seja uma partição P do retângulo [a,b]\times[c,d] em subretângulos R_{ij}. Para cada R_{ij} definimos:
M_{ij}=\sup_{(x,y)\in R_{ij}} f(x,y),\qquad m_{ij}=\inf_{(x,y)\in R_{ij}} f(x,y).
A área do subretângulo R_{ij} denota-se por \Delta A_{ij}. Então a soma superior e a soma inferior relativas à partição P são
U(P,f)=\sum_{i,j} M_{ij}\,\Delta A_{ij},\qquad L(P,f)=\sum_{i,j} m_{ij}\,\Delta A_{ij}.
Definição de integrabilidade (Darboux/Riemann): f é integrável em [a,b]\times[c,d] se, para todo \varepsilon>0, existe uma partição P tal que
U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon.
Vou trabalhar para demonstrar exatamente essa propriedade.

Passo 3

Usar a continuidade em conjunto fechado e limitado para obter uniformidade. Teorema (Heine–Cantor, enunciado e explicação): se f é contínua em um conjunto compacto (aqui [a,b]\times[c,d] é compacto), então f é uniformemente contínua nesse conjunto. Explicação curta e didática do que isso quer dizer:
  • Continuidade em um ponto significa: para cada \eta>0 existe \delta (que pode depender do ponto) tal que se a distância entre (x,y) e o ponto for menor que \delta então |f(x,y)-f(\text{ponto})|<\eta.
  • Uniforme-continuidade significa: para cada \eta>0 existe \delta>0 (o mesmo para todo o retângulo) tal que para quaisquer dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) do retângulo, se a distância euclidiana
\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}<\delta
então
|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\eta.
Rascunho de prova (intuição): se não fosse uniformemente contínua existiria uma sequência de pares de pontos cada vez mais próximos onde as diferenças de f são maiores que um limite fixo; pelo compacto conseguimos uma subsequência convergente e aí a continuidade no ponto limite dá contradição. Essa é a razão pela qual a continuidade no retângulo compacto passa para uniformidade.

Passo 4

Conectar uniformidade de f com o controle da oscilação em cada subretângulo. Seja A a área total do retângulo:
A=(b-a)(d-c).
Tomemos um \varepsilon>0 arbitrário e queremos construir uma partição P tal que U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon. A ideia é:
  • Primeiro escolhemos um número \eta>0 de forma que, se a oscilação (diferença entre máximo e mínimo) de f em cada subretângulo for ≤ \eta, então a diferença total U-L será ≤ \varepsilon. Uma escolha conveniente é
\eta=\frac{\varepsilon}{A}.
Explicação: se em cada subretângulo R_{ij} temos M_{ij}-m_{ij}\le \eta, então
U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i,j} (M_{ij}-m_{ij})\,\Delta A_{ij}\le \sum_{i,j} \eta\,\Delta A_{ij}=\eta\sum_{i,j}\Delta A_{ij}=\eta A=\varepsilon.
Portanto basta garantir que a oscilação em cada subretângulo seja ≤ \eta.

Passo 5

Aplicar uniformidade para garantir pequena oscilação local. Pela uniformidade de f (Passo 3), existe \delta>0 tal que, para quaisquer (x_1,y_1) e (x_2,y_2) no retângulo,
\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\eta.
Isto implica que, se um subretângulo R_{ij} tiver diâmetro (isto é, a maior distância entre dois pontos do subretângulo) menor que \delta, então a oscilação de f nesse R_{ij} será menor que \eta, ou seja M_{ij}-m_{ij}<\eta.

Passo 6

Construir explicitamente uma partição com subretângulos de diâmetro pequeno. Para garantir que cada subretângulo tenha diâmetro <\delta basta escolher uma partição P obtida cortando o intervalo [a,b] em n subintervalos e [c,d] em m subintervalos de modo que o maior comprimento de subintervalo em x-direção e em y-direção seja menor que \delta/\sqrt{2}. Justificativa:
  • Se \Delta x e \Delta y são os comprimentos dos lados de um subretângulo, sua diagonal (diâmetro) é \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.
  • Se \Delta x<\delta/\sqrt{2} e \Delta y<\delta/\sqrt{2} então
\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}<\sqrt{\frac{\delta^2}{2}+\frac{\delta^2}{2}}=\delta.
Logo basta refinar a partição tomando n e m suficientemente grandes para que todos os \Delta x e \Delta y fiquem abaixo de \delta/\sqrt{2}. Como [a,b] e [c,d] são intervalos compactos isso é sempre possível (dividindo em suficientes partes iguais, por exemplo).

Passo 7

Concluir a estimativa U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon. Escolhendo a partição P como no passo anterior, todos os subretângulos R_{ij} têm diâmetro <\delta, logo por uniformidade M_{ij}-m_{ij}<\eta. Assim, usando o cálculo do Passo 4,
U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i,j} (M_{ij}-m_{ij})\,\Delta A_{ij}\le \sum_{i,j} \eta\,\Delta A_{ij}=\eta A=\varepsilon.
Portanto, para o \varepsilon dado encontramos uma partição P (bastou escolher n,m grandes o suficiente) que satisfaz a condição de integrabilidade.

Passo 8

Resumo final do argumento e observações práticas. Recapitulando de forma direta:
  • f contínua em [a,b]\times[c,d] implica f uniformemente contínua nesse retângulo.
  • Dada qualquer \varepsilon>0 escolhe-se \eta=\varepsilon/A.
  • Uniformidade dá \delta tal que pontos com distância <\delta têm variação de f menor que \eta.
  • Particiona-se [a,b]\times[c,d] em subretângulos com diâmetro <\delta; então em cada subretângulo M_{ij}-m_{ij}<\eta.
  • Isso implica U(P,f)-L(P,f)\le\eta A=\varepsilon. Logo f é integrável.

Resposta

A função z=f(x,y) é integrável em [a,b]\times[c,d].

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