Exercício 2 Verifique que a função
é solução particular da equação
Passo 1
O enunciado fornece a função e a equação e pede para verificar se a função é solução particular. Informações dadas:
Pergunta a responder: verificar se, ao substituir
na equação diferencial, a igualdade é satisfeita (isto é, se o lado esquerdo avaliado em
resulta em
).
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada de
. Para isso usamos a regra do produto: se
, então
. Aqui escolhemos
Calculamos as derivadas de
e
:
pois a derivada de
é
e pela regra da cadeia multiplicamos pela derivada de
, que é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada
. Derivamos termo a termo. Primeiro, a derivada de
é
Segundo, derivamos
aplicando novamente a regra do produto com
e
:
Logo
Passo 5
Somando os resultados dos dois termos obtemos a segunda derivada completa:
Passo 6
Substituímos
e
no lado esquerdo da equação
:
Observe que
. Simplificando o segundo termo:
Portanto
Passo 7
Os termos contendo
se cancelam:
logo sobra
Isso mostra que, ao substituir
na equação diferencial, obtém-se exatamente o lado direito.
Resposta
Sim.
é solução particular da equação
.