Exercício 2 Verifique que a função y_{p}(t)=\frac{t}{2} \operatorname{sen}(2 t) é solução particular da equação
y^{\prime \prime}+4 y=2 \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado fornece a função e a equação e pede para verificar se a função é solução particular. Informações dadas:
y_{p}(t)=\frac{t}{2}\operatorname{sen}(2t)
y''+4y=2\cos(2t)
Pergunta a responder: verificar se, ao substituir y_{p}(t) na equação diferencial, a igualdade é satisfeita (isto é, se o lado esquerdo avaliado em y_{p} resulta em 2\cos(2t)).

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada de y_{p}(t). Para isso usamos a regra do produto: se \displaystyle y(t)=u(t)v(t), então \displaystyle y'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t). Aqui escolhemos
u(t)=\frac{t}{2},\qquad v(t)=\operatorname{sen}(2t).
Calculamos as derivadas de u e v:
u'(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{1}{2},
v'(t)=\frac{d}{dt}\left(\operatorname{sen}(2t)\right)=2\cos(2t),
pois a derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x) e pela regra da cadeia multiplicamos pela derivada de 2t, que é 2.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
y_{p}'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2t)+\frac{t}{2}\cdot 2\cos(2t).
Simplificando o segundo termo:
y_{p}'(t)=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2t)+t\cos(2t).

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada y_{p}''(t). Derivamos termo a termo. Primeiro, a derivada de \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2t) é
\frac{1}{2}\cdot 2\cos(2t)=\cos(2t).
Segundo, derivamos t\cos(2t) aplicando novamente a regra do produto com a(t)=t e b(t)=\cos(2t):
a'(t)=1,\qquad b'(t)=\frac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t).
Logo
\frac{d}{dt}\big(t\cos(2t)\big)=1\cdot \cos(2t)+t\cdot(-2\sin(2t))=\cos(2t)-2t\sin(2t).

Passo 5

Somando os resultados dos dois termos obtemos a segunda derivada completa:
y_{p}''(t)=\cos(2t)+\big(\cos(2t)-2t\sin(2t)\big)=2\cos(2t)-2t\sin(2t).

Passo 6

Substituímos y_{p}''(t) e y_{p}(t) no lado esquerdo da equação y''+4y:
y_{p}''(t)+4y_{p}(t)=\big(2\cos(2t)-2t\sin(2t)\big)+4\cdot\frac{t}{2}\operatorname{sen}(2t).
Observe que \operatorname{sen}(2t)=\sin(2t). Simplificando o segundo termo:
4\cdot\frac{t}{2}\operatorname{sen}(2t)=2t\sin(2t).
Portanto
y_{p}''(t)+4y_{p}(t)=2\cos(2t)-2t\sin(2t)+2t\sin(2t).

Passo 7

Os termos contendo t\sin(2t) se cancelam:
-2t\sin(2t)+2t\sin(2t)=0,
logo sobra
y_{p}''(t)+4y_{p}(t)=2\cos(2t).
Isso mostra que, ao substituir y_{p} na equação diferencial, obtém-se exatamente o lado direito.

Resposta

Sim. y_{p}(t)=\dfrac{t}{2}\operatorname{sen}(2t) é solução particular da equação y''+4y=2\cos(2t).

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