Exercício 11. Qual o número mínimo de pessoas para o qual temos certeza de que há sempre duas que fazem aniversário no mesmo mês? E se for no mesmo dia do ano?

Passo 1

O enunciado pede o número mínimo de pessoas para garantir, em qualquer grupo desse tamanho, que sempre há pelo menos duas com aniversário (a) no mesmo mês e (b) no mesmo dia do ano. O conteúdo necessário é o princípio da casa dos pombos (ou princípio do pombo).

Passo 2

O princípio da casa dos pombos diz que, se tivermos n objetos a serem colocados em k recipientes e n>k, então ao menos um recipiente conterá pelo menos dois objetos. Aqui os objetos são as pessoas e os recipientes são os meses (ou os dias do ano).

Passo 3

Para o mesmo mês há k=12 caixas (meses). Para garantir que exista um mês com pelo menos duas pessoas, precisamos de
n > 12
Portanto, o número mínimo é
12 + 1 = 13.

Passo 4

Para o mesmo dia do ano há k=365 caixas (dias). Para assegurar que exista um dia com pelo menos duas pessoas, basta ter
n > 365
Logo, o mínimo é
365 + 1 = 366.

Resposta

13 pessoas garantem duas com aniversário no mesmo mês.
366 pessoas garantem duas com aniversário no mesmo dia do ano.

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