Exercício 14. Seja
. Se cinco inteiros são selecionados de
, existe pelo menos um par de números cuja soma é 9 ? E se selecionarmos apenas quatro números?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta se, ao escolhermos cinco elementos de
, sempre existe um par cuja soma é
, e o mesmo se fizermos apenas quatro escolhas. O conteúdo usado aqui é o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle).
Passo 2
Vamos particionar
em quatro “caixas” de acordo com os pares que somam
:
,
,
,
.
Cada elemento de pertence exatamente a uma dessas caixas.
Cada elemento de
Passo 3
Se selecionarmos cinco números de
, temos cinco “pombos” (os números escolhidos) e quatro “casas” (os pares acima). Pelo Princípio da Casa dos Pombos, em pelo menos uma caixa haverá dois números escolhidos, e esses dois somam
. Logo, com cinco escolhas, existe necessariamente um par cuja soma é
.
Passo 4
Se selecionarmos apenas quatro números, podemos pegar exatamente um elemento de cada caixa, evitando qualquer soma igual a
. Por exemplo, escolhendo
temos um de cada par e nenhuma soma é
. Portanto, com quatro escolhas não é garantido ter um par que some
.
Resposta
Com cinco números selecionados de
sempre existe um par cuja soma é
.
Com quatro números selecionados isso não se garante (por exemplo não contém par que some
).
Com quatro números selecionados isso não se garante (por exemplo