Exercício 14. Seja A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}. Se cinco inteiros são selecionados de A, existe pelo menos um par de números cuja soma é 9 ? E se selecionarmos apenas quatro números?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}
e pergunta se, ao escolhermos cinco elementos de A, sempre existe um par cuja soma é 9, e o mesmo se fizermos apenas quatro escolhas. O conteúdo usado aqui é o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle).

Passo 2

Vamos particionar A em quatro “caixas” de acordo com os pares que somam 9:
\{1,8\}, \{2,7\}, \{3,6\}, \{4,5\}.
Cada elemento de A pertence exatamente a uma dessas caixas.

Passo 3

Se selecionarmos cinco números de A, temos cinco “pombos” (os números escolhidos) e quatro “casas” (os pares acima). Pelo Princípio da Casa dos Pombos, em pelo menos uma caixa haverá dois números escolhidos, e esses dois somam 9. Logo, com cinco escolhas, existe necessariamente um par cuja soma é 9.

Passo 4

Se selecionarmos apenas quatro números, podemos pegar exatamente um elemento de cada caixa, evitando qualquer soma igual a 9. Por exemplo, escolhendo
\{1,2,3,4\}
temos um de cada par e nenhuma soma é 9. Portanto, com quatro escolhas não é garantido ter um par que some 9.

Resposta

Com cinco números selecionados de A sempre existe um par cuja soma é 9.
Com quatro números selecionados isso não se garante (por exemplo \{1,2,3,4\} não contém par que some 9).

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