Quantos elementos estão em A_{1} \cup A_{2} se houver 12 elementos em A_{1}, 18 elementos em A_{2} e
(a) A_{1} \cap A_{2}=\emptyset ?
(b) \left|A_{1} \cap A_{2}\right|=1 ?
(c) \left|A_{1} \cap A_{2}\right|=6 ?
(d) A_{1} \subseteq A_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos A_{1} e A_{2} com \lvert A_{1}\rvert=12 e \lvert A_{2}\rvert=18 e pede \lvert A_{1}\cup A_{2}\rvert em quatro situações diferentes. O conteúdo aqui é o princípio da inclusão-exclusão para conjuntos.

Passo 2

Pelo princípio da inclusão-exclusão, temos a fórmula geral
\lvert A_{1}\cup A_{2}\rvert =\lvert A_{1}\rvert+\lvert A_{2}\rvert-\lvert A_{1}\cap A_{2}\rvert.

Passo 3

(a) Se A_{1}\cap A_{2}=\emptyset, então \lvert A_{1}\cap A_{2}\rvert=0. Logo,
\lvert A_{1}\cup A_{2}\rvert =12+18-0=30.

Passo 4

(b) Se \lvert A_{1}\cap A_{2}\rvert=1, então
\lvert A_{1}\cup A_{2}\rvert =12+18-1=29.

Passo 5

(c) Se \lvert A_{1}\cap A_{2}\rvert=6, então
\lvert A_{1}\cup A_{2}\rvert =12+18-6=24.

Passo 6

(d) Se A_{1}\subseteq A_{2}, então todo elemento de A_{1} já está em A_{2}. Isso implica \lvert A_{1}\cap A_{2}\rvert=\lvert A_{1}\rvert=12 e A_{1}\cup A_{2}=A_{2}. Assim,
\lvert A_{1}\cup A_{2}\rvert =12+18-12=18.

Resposta

(a) 30
(b) 29
(c) 24
(d) 18

Exercícios relacionados