Exercício 12. Prove que, existem pelo menos duas pessoas na Paraíba que têm o mesmo número de fios de cabelo? (Sabe-se que uma pessoa tem no máximo 300 mil fios de cabelo).

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, na Paraíba, existem pelo menos duas pessoas que têm o mesmo número de fios de cabelo. Cada pessoa tem, no máximo, 300000 fios. O conteúdo central aqui é o Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio das Gavetas).

Passo 2

Vamos identificar as “gavetas” e os “pombos”. Cada pessoa será um pombo, e o número de fios de cabelo que ela possui será a gaveta em que ela “cai”. Os valores possíveis desse número vão de 0 até 300000. Logo, o total de gavetas é
300000 - 0 + 1 = 300001.

Passo 3

A população da Paraíba é muito maior que 300001 (por exemplo, cerca de 4\times10^{6} pessoas). Então temos mais de 300001 pombos para colocar em 300001 gavetas. Pelo Princípio das Gavetas, se colocamos n pombos em m gavetas com n>m, ao menos uma gaveta conterá pelo menos dois pombos.

Resposta

Como há mais pessoas na Paraíba do que categorias de número de fios de cabelo, o Princípio das Gavetas garante que existem pelo menos duas pessoas que compartilham exatamente o mesmo número de fios de cabelo.

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