Exercício 13. Se o inteiro n>8 é solução da equação x^{2}-a x+b=0 e a=(18)_{n}, qual é a representação de b na base n ?

Passo 1

O enunciado pede: “qual é a representação de b na base n?” As informações dadas são:
  • n é inteiro e n>8.
  • n é solução da equação x^{2}-a x+b=0.
  • a=(18)_{n} (ou seja, a está escrito na base n como os dígitos 1 e 8).

Passo 2

Interpretação da notação a=(18)_{n}. Quando um número tem representação (d_1d_0)_n em base n, isso significa
(d_1d_0)_n = d_1\cdot n + d_0.
Aplicando a isso para (18)_{n} temos
a = 1\cdot n + 8 = n + 8.
Observação importante: como n>8, o dígito 8 é permitido (temos 8<n).

Passo 3

Usar que n é raiz da equação. Se x=n satisfaz
x^{2}-a x+b=0,
então substituindo x=n obtemos
n^{2}-a n+b=0.
Isolando b nessa igualdade temos a fórmula
b = a n - n^{2}.
Explico rápido: movemos n^{2} e -a n para o outro lado e obtemos b.

Passo 4

Substituir a expressão de a (obtida no Passo 2) em b = a n - n^{2}. Como a = n+8,
b = (n+8)n - n^{2}.
Distribuindo e simplificando:
b = n^{2} + 8n - n^{2} = 8n.

Passo 5

Converter b=8n para a base n. Para escrever um número em base n fazemos a divisão por n e usamos quociente e resto: qualquer inteiro \ell pode ser escrito como \ell = q\cdot n + r com 0\le r<n, e então \ell tem representação (q r)_n (dois dígitos) se q<n, etc.
Aqui \;b=8n. Ao dividir por n obtemos quociente 8 e resto 0, porque
8n = 8\cdot n + 0.
Como n>8 temos 8<n, então o dígito 8 é válido na base n. Portanto a representação de b na base n é o par de dígitos 8 seguido de 0, ou seja (80)_{n}.
Exemplo rápido para conferir: se n=10 então a=(18)_{10}=18 e b=8\cdot 10=80, que em base 10 é (80)_{10}. Se n=9 então a=(18)_{9}=1\cdot9+8=17 e b=8\cdot9=72, que em base 9 é (80)_{9} porque 8\cdot9+0=72.

Resposta

(80)_{n}

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