Exercício 13. Se o inteiro
é solução da equação
e
, qual é a representação de
na base
?
Passo 1
O enunciado pede: “qual é a representação de
na base
?” As informações dadas são:
-
é inteiro e . -
é solução da equação . -
(ou seja, está escrito na base como os dígitos e ).
Passo 2
Interpretação da notação
. Quando um número tem representação
em base
, isso significa
Aplicando a isso para
temos
Observação importante: como
, o dígito
é permitido (temos
).
Passo 3
Usar que
é raiz da equação. Se
satisfaz
então substituindo
obtemos
Isolando
nessa igualdade temos a fórmula
Explico rápido: movemos
e
para o outro lado e obtemos
.
Passo 4
Substituir a expressão de
(obtida no Passo 2) em
. Como
,
Distribuindo e simplificando:
Passo 5
Converter
para a base
. Para escrever um número em base
fazemos a divisão por
e usamos quociente e resto: qualquer inteiro
pode ser escrito como
com
, e então
tem representação
(dois dígitos) se
, etc.
Aqui
. Ao dividir por
obtemos quociente
e resto
, porque
Como
temos
, então o dígito
é válido na base
. Portanto a representação de
na base
é o par de dígitos
seguido de
, ou seja
.
Exemplo rápido para conferir: se
então
e
, que em base
é
. Se
então
e
, que em base
é
porque
.