Questão 1 Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
; 2) Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
.
Passo 1
O enunciado pede solução em séries de potências da equação
em torno de
. O conteúdo é o método de séries de potências num ponto ordinário. Vamos usar a mudança de variável
e supor
determinando a relação de recorrência e os primeiros termos das duas soluções independentes.
Passo 2
Expressamos as derivadas em série de potências em
:
Como
, a EDO fica
Passo 3
Ao separar as potências
obtemos para
:
e para
:
Isto gera a relação de recorrência
Passo 4
Para a primeira solução tomo
. Da relação inicial
vem
Usando a recorrência para
calculo
Passo 5
Para a segunda solução tomo
. Da mesma forma obtenho
Passo 6
As duas séries de potências em
são:
O termo geral está dado pela recorrência do Passo 3; não há forma fechada elementar mais simples.
Resposta
Relação de recorrência:
Primeiros 5 termos de cada solução (com
):
Termo geral dado pela recorrência acima.