Questão 1 Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0; 2) Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
2 y^prime prime+(x+1) y^prime+3 y=0, x0=2.

Passo 1

O enunciado pede solução em séries de potências da equação
2y''+(x+1)y'+3y=0
em torno de x0=2. O conteúdo é o método de séries de potências num ponto ordinário. Vamos usar a mudança de variável
t = x - 2
e supor
y(t)=sumn=0^inftyant^n,
determinando a relação de recorrência e os primeiros termos das duas soluções independentes.

Passo 2

Expressamos as derivadas em série de potências em t:
y(t)=sumn=0^inftyant^n, y'(t)=sumn=0^infty(n+1)an+1t^n, y''(t)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2t^n
Como x+1=(t+2)+1=t+3, a EDO fica
2sumn>=0(n+2)(n+1)an+2t^n +(t+3)sumn>=0(n+1)an+1t^n +3sumn>=0ant^n=0

Passo 3

Ao separar as potências obtemos para :
e para :
Isto gera a relação de recorrência

Passo 4

Para a primeira solução tomo a0=1,;a1=0. Da relação inicial 4a2+3a1+3a0=0 vem
a2=-tfrac34
Usando a recorrência para n=1,2,3,4 calculo
a3=tfrac38, a4=tfrac164, a5=-tfrac39640

Passo 5

Para a segunda solução tomo a0=0,;a1=1. Da mesma forma obtenho
a2=-tfrac34, a3=tfrac124, a4=tfrac964, a5=-tfrac31640

Passo 6

As duas séries de potências em t=x-2 são:
y1(x)=sumn=0^infty ant^n =1-tfrac34,t^2+tfrac38,t^3+tfrac164,t^4-tfrac39640,t^5+cdots,
y2(x)=sumn=0^infty bnt^n =t-tfrac34,t^2+tfrac124,t^3+tfrac964,t^4-tfrac31640,t^5+cdots
O termo geral está dado pela recorrência do Passo 3; não há forma fechada elementar mais simples.

Resposta

Relação de recorrência:
an+2 =-3(n+1)an+1+(n+3)an2(n+2)(n+1), n>=0
Primeiros 5 termos de cada solução (com t=x-2):
y1(x)=1-tfrac34,t^2+tfrac38,t^3+tfrac164,t^4-tfrac39640,t^5+cdots,
y2(x)=t-tfrac34,t^2+tfrac124,t^3+tfrac964,t^4-tfrac31640,t^5+cdots
Termo geral dado pela recorrência acima.

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