Exercício 11. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta :
Sejam A e B matrizes n times n.
a) Se A for invertível e B for singular, então A B é singular.
b) Se A e B são invertíveis então B A é invertível.
c) Se A^2 é invertível então A^3 é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para analisar três afirmações sobre invertibilidade de matrizes quadradas A e B. Vamos usar as definições e propriedades básicas: uma matriz é invertível se existe inversa; é singular se não é invertível; o determinante de um produto é o produto dos determinantes.

Passo 2

Para (a), suponha que A seja invertível e B seja singular. Como B é singular, existe xneq0 tal que
B,x=0
Aplicando A na frente, obtemos
A(Bx)=A0=0,
com xneq0, logo AB não é injetora e portanto é singular. Assim (a) é verdadeiro.

Passo 3

Para (b), se A e B são invertíveis, então existem A^-1 e B^-1. Basta observar que
(BA)(A^-1B^-1) = B(AA^-1)B^-1 = BIB^-1 = I
e de modo análogo (A^-1B^-1)(BA)=I. Logo BA é invertível com inversa A^-1B^-1. Assim (b) é verdadeiro.

Passo 4

Para (c), se A^2 é invertível então
det(A^2)neq0
Mas det(A^2)=(det A)^2neq0 implica det Aneq0, ou seja, A é invertível. Como A^3=Acdot A^2 é produto de invertíveis, concluímos que A^3 também é invertível. Portanto (c) é verdadeiro.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro

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