Exercício 11. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta :
Sejam
e
matrizes
.
a) Se
for invertível e B for singular, então
é singular.
b) Se
e
são invertíveis então
é invertível.
c) Se
é invertível então
é invertível.
Sejam
a) Se
b) Se
c) Se
Passo 1
O enunciado pede para analisar três afirmações sobre invertibilidade de matrizes quadradas
e
. Vamos usar as definições e propriedades básicas: uma matriz é invertível se existe inversa; é singular se não é invertível; o determinante de um produto é o produto dos determinantes.
Passo 2
Para (a), suponha que
seja invertível e
seja singular. Como
é singular, existe
tal que
Aplicando
na frente, obtemos
com
, logo
não é injetora e portanto é singular. Assim (a) é verdadeiro.
Passo 3
Para (b), se
e
são invertíveis, então existem
e
. Basta observar que
e de modo análogo
. Logo
é invertível com inversa
. Assim (b) é verdadeiro.
Passo 4
Para (c), se
é invertível então
Mas
implica
, ou seja,
é invertível. Como
é produto de invertíveis, concluímos que
também é invertível. Portanto (c) é verdadeiro.
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro