Exercicio 12. Calcule lim (x, y) (0,0) tg(x^2+3 y^2)x^4+2 y^2
Resp: Não existe

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de função de duas variáveis
f(x,y)=tanl(x^2+3y^2r),x^4+2y^2,
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo envolvido é o estudo de limites em R^2 e o truque de analisar diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Analisamos primeiro o caminho x=0. Nesse caso
f(0,y)=tanl(3y^2r)2y^2
Fazendo a substituição u=3y^2, quando yto0 temos uto0 e usamos limuto0tan(u)/u=1. Logo,
limyto0f(0,y) =limyto0tan(3y^2)3y^2cdot3y^22y^2 =1cdot32 =32

Passo 3

Agora escolhemos o caminho y=0. Aí
f(x,0)=tan(x^2)x^4
Usando tan(x^2)sim x^2 quando xto0, obtemos
tan(x^2)x^4simx^2x^4=1x^2to+infty
Portanto, ao longo de y=0 a função diverge para +infty, enquanto ao longo de x=0 o limite vale tfrac32. Como esses resultados não coincidem, o limite não existe.

Resposta

Não existe.

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