Exercício 9. Duas partículas começam a se mover no mesmo instante, a primeira percorre a trajetória linear
e a segunda percorre a trajetória elíptica
(a) Os traços das curvas se interceptam? Em quais pontos?
(b) Há colisão entre as partículas? Em quais pontos?
(b) Há colisão entre as partículas? Em quais pontos?
Passo 1
O enunciado dá duas trajetórias paramétricas no plano para
:
– Partícula 1:
– Partícula 1:
– Partícula 2:
Na parte (a) queremos saber se existem pontos
tais que
para algum par
.
Na parte (b) queremos solução adicionalmente com , ou seja, colisão no mesmo instante
.
Na parte (b) queremos solução adicionalmente com
Passo 2
Para as interseções de traços, resolvemos simultaneamente
Defina
então
Usando
, obtemos
As raízes são
Passo 3
Substituindo em
:
Para :
Para
logo ponto
.
Para :
Para
logo ponto
.
Logo os traços se interceptam em e
.
Logo os traços se interceptam em
Passo 4
Para colisão, impomos
. Temos o sistema
Já vimos que o ponto
surge para
e para a partícula 2 ocorre também em
(porque
,
). Assim em
ambas ocupam
.
O ponto ocorre para
mas aí a partícula 2 passa por
em
, não em
, logo não há colisão ali no mesmo instante.
Não há outra solução com .
O ponto
Não há outra solução com
Resposta
(a) Sim, os traços se interceptam em
e em
.
(b) Colisão ocorre apenas em , no ponto
.
(b) Colisão ocorre apenas em