Exercício 9. Duas partículas começam a se mover no mesmo instante, a primeira percorre a trajetória linear
x1(t)=16 / 3-8 t / 3, y1(t)=4 t-5, t >= 0
e a segunda percorre a trajetória elíptica
x2(t)=2 sen(pi t / 2), y1(t)=-3 cos (pi t / 2), t >= 0
(a) Os traços das curvas se interceptam? Em quais pontos?
(b) Há colisão entre as partículas? Em quais pontos?

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias paramétricas no plano para t>=0:
– Partícula 1:
x1(t1) = 163 - 83,t1, y1(t1) = 4,t1 - 5
– Partícula 2:
x2(t2) = 2sinl(pi t22r), y2(t2) = -3cosl(pi t22r)
Na parte (a) queremos saber se existem pontos (x,y) tais que (x,y)=(x1(t1),y1(t1))=(x2(t2),y2(t2)) para algum par (t1,t2).
Na parte (b) queremos solução adicionalmente com t1=t2=t, ou seja, colisão no mesmo instante t.

Passo 2

Para as interseções de traços, resolvemos simultaneamente
163 - 83,t1 = 2sinl(pi t22r), 4,t1-5 = -3cosl(pi t22r)
Defina
u = pi t22,
então
sin u = 16/3 - (8/3)t12 = 4(2 - t1)3, cos u = -4,t1-53
Usando sin^2u+cos^2u=1, obtemos
l(4(2 - t1)3r)^2 +l(4,t1-53r)^2 =1 ;Longrightarrow; 4,t1^2-13,t1+10=0
As raízes são
t1 = 2 e t1 = 54

Passo 3

Substituindo em (x1,y1):
Para t1=2:
x1(2)=163-83cdot2=0, y1(2)=8-5=3,
logo ponto (0,3).
Para t1=5/4:
x1l(tfrac54r) =163-83cdot54=2, y1l(tfrac54r) =5-5=0,
logo ponto (2,0).
Logo os traços se interceptam em (0,3) e (2,0).

Passo 4

Para colisão, impomos t1=t2=t. Temos o sistema
163-83,t = 2sinl(pi t2r), 4,t-5 = -3cosl(pi t2r)
Já vimos que o ponto (0,3) surge para t1=2 e para a partícula 2 ocorre também em t=2 (porque sin(pi)=0, cos(pi)=-1). Assim em t=2 ambas ocupam (0,3).
O ponto (2,0) ocorre para t1=5/4 mas aí a partícula 2 passa por (2,0) em t=1, não em t=5/4, logo não há colisão ali no mesmo instante.
Não há outra solução com t1=t2.

Resposta

(a) Sim, os traços se interceptam em (0,3) e em (2,0).
(b) Colisão ocorre apenas em t=2, no ponto (0,3).

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