Exercício 11. Seja A B C D um quadrado de lado 6 e seja M o ponto médio do lado B C. Os segmentos A M e B D dividem o quadrado em quatro regiões. Determine a área de cada uma dessas regiões.

Passo 1

O enunciado diz que ABCD é um quadrado de lado 6 e M é o ponto médio de BC. Os segmentos AM e BD dividem o quadrado em quatro regiões. Vamos usar geometria analítica para achar as áreas de cada uma.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas:
A \,(0,0), B \,(6,0), C \,(6,6), D \,(0,6).
Como M é o ponto médio de BC, temos
M = \bigl(6,\tfrac{0+6}{2}\bigr) = (6,3).
A reta AM tem equação passando por (0,0) e (6,3), isto é
y = \frac{3}{6}x = \tfrac12 x.
A reta BD passa por (6,0) e (0,6), logo sua equação é
y - 0 = -1\,(x - 6)\quad\Longrightarrow\quad y = -x + 6.

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção P entre AM e BD, igualamos
\tfrac12 x = -x + 6 \quad\Longrightarrow\quad \frac32 x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 4,
e então y = \tfrac12\cdot4 = 2.
Logo P = (4,2).

Passo 4

A primeira região é o triângulo ABP com vértices A(0,0), B(6,0), P(4,2).
Usando base AB=6 e altura igual à ordenada de P (distância até o eixo AB), que é 2,
\text{área}(ABP) = \tfrac12 \times 6 \times 2 = 6.á

Passo 5

A segunda região é o triângulo ADP com vértices A(0,0), D(0,6), P(4,2).
Aqui a base AD=6 e a altura é a abscissa de P, que vale 4.
\text{área}(ADP) = \tfrac12 \times 6 \times 4 = 12.á

Passo 6

A terceira região fica dentro de BCD e é o triângulo BPM com vértices B(6,0), P(4,2), M(6,3).
Pelo determinante (ou fórmula de base-altura), note que a base BM tem comprimento 3 e a distância de P até a reta BM também dá, ao final,
\text{área}(BPM) = 3.á

Passo 7

A quarta região é o quadrilátero P\!-\!D\!-\!C\!-\!M. Como o quadrado total tem área 36 e já usamos as três áreas acima, basta
\text{área}(PDCM) = 36 - \bigl(6 + 12 + 3\bigr) = 36 - 21 = 15.á

Resposta

As quatro regiões, em ordem de cálculo, têm áreas:
6, 12, 3 e 15.

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