Exercício 11. Seja
um quadrado de lado 6 e seja
o ponto médio do lado
. Os segmentos
e
dividem o quadrado em quatro regiões. Determine a área de cada uma dessas regiões.
Passo 1
O enunciado diz que
é um quadrado de lado
e
é o ponto médio de
. Os segmentos
e
dividem o quadrado em quatro regiões. Vamos usar geometria analítica para achar as áreas de cada uma.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas:
A , B
, C
, D
.
Como é o ponto médio de
, temos
A
Como
A reta
tem equação passando por
e
, isto é
A reta
passa por
e
, logo sua equação é
Passo 3
Para encontrar o ponto de interseção
entre
e
, igualamos
e então
.
Logo .
Logo
Passo 4
A primeira região é o triângulo
com vértices
,
,
.
Usando base e altura igual à ordenada de
(distância até o eixo
), que é
,
Usando base
Passo 5
A segunda região é o triângulo
com vértices
,
,
.
Aqui a base e a altura é a abscissa de
, que vale
.
Aqui a base
Passo 6
A terceira região fica dentro de
e é o triângulo
com vértices
,
,
.
Pelo determinante (ou fórmula de base-altura), note que a base tem comprimento
e a distância de
até a reta
também dá, ao final,
Pelo determinante (ou fórmula de base-altura), note que a base
Passo 7
A quarta região é o quadrilátero
. Como o quadrado total tem área
e já usamos as três áreas acima, basta
Resposta
As quatro regiões, em ordem de cálculo, têm áreas:
6, 12, 3 e 15.
6, 12, 3 e 15.