Exercício 12. Em um plano cartesiano A=(-1,2) e B=(3,2). Determine todos os pontos P da reta 3 x+4 y=24 para os quais a área do triângulo A B P é igual a 14 .

Passo 1

O enunciado dá dois pontos \;A=(-1,2) e B=(3,2)
e pede todos os pontos P=(x,y) sobre a reta
3x+4y=24
para os quais a área do triângulo ABP vale 14.
O conteúdo é geometria analítica: vamos usar a fórmula da área de um triângulo em coordenadas cartesianas via determinante de dois vetores.

Passo 2

Sejam \overrightarrow{AB}=B-A
e \overrightarrow{AP}=P-A.
Sabemos que
\text{Área}=\frac12\bigl|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP})\bigr|.Á

Passo 3

Calculamos os vetores:
\overrightarrow{AB}=(3-(-1),\,2-2)=(4,0), \qquad \overrightarrow{AP}=(x-(-1),\,y-2)=(x+1,y-2).
O determinante vale
\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}) =4\,(y-2)-0\,(x+1)=4(y-2).
Logo
\text{Área} =\frac12\bigl|4(y-2)\bigr| =2\,\bigl|y-2\bigr|Á
e basta resolver
2\,\bigl|y-2\bigr|=14 \;\Longrightarrow\; \bigl|y-2\bigr|=7.

Passo 4

Da equação \lvert y-2\rvert=7 vêm
y-2=7\quad\text{ou}\quad y-2=-7,
isto é
y=9 \quad\text{ou}\quad y=-5.

Passo 5

Agora impomos cada valor de y na reta 3x+4y=24:
  • Se y=9, então
3x+4\cdot9=24 \;\Longrightarrow\; 3x+36=24 \;\Longrightarrow\; x=-4.
  • Se y=-5, então
3x+4\cdot(-5)=24 \;\Longrightarrow\; 3x-20=24 \;\Longrightarrow\; x=\frac{44}{3}.

Resposta

Os pontos são
P_1 = (-4,\,9) \quad\text{e}\quad P_2 = \Bigl(\tfrac{44}{3},\,-5\Bigr).

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