1. Justifique a seguinte afirmação:
    “A curva parametrizada f(t)=(32(t^2+1), t^4+1, t^3) é perpendicular ao elipsoide de equação x^2+2 y^2+3 z^2=20, no ponto (3,2,1).”

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
f(t)=l(tfrac32,(t^2+1),;t^4+1,;t^3r)
e o elipsoide de equação
F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-20=0
Queremos mostrar que, no ponto (3,2,1), o vetor tangente à curva é paralelo ao vetor normal à superfície. Para isso, vamos:
  1. Determinar o valor t0 tal que f(t0)=(3,2,1) e calcular o vetor tangente f'(t0).
  2. Calcular o gradiente nabla F no ponto (3,2,1).
  3. Verificar que f'(t0) é múltiplo escalar de nabla F(3,2,1), o que implica ortogonalidade da curva ao elipsoide.

Passo 2

Primeiro encontramos
Da última equação vem .
Agora, o vetor tangente é
logo em temos

Passo 3

O gradiente de F é
nabla F(x,y,z) = l(2x,;4y,;6zr)
No ponto (3,2,1) resulta
nabla F(3,2,1) = (6,,8,,6) = 2,(3,4,3)
Portanto
nabla F(3,2,1)paral<=l (3,4,3) = f'(1)

Resposta

Como o vetor tangente f'(1) é proporcional ao vetor normal nabla F(3,2,1), a curva é perpendicular ao elipsoide no ponto (3,2,1).

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