- Justifique a seguinte afirmação:
“A curva parametrizada
é perpendicular ao elipsoide de equação
, no ponto (3,2,1).”
“A curva parametrizada
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e o elipsoide de equação
Queremos mostrar que, no ponto
, o vetor tangente à curva é paralelo ao vetor normal à superfície. Para isso, vamos:
- Determinar o valor
tal que e calcular o vetor tangente . - Calcular o gradiente
no ponto . - Verificar que
é múltiplo escalar de , o que implica ortogonalidade da curva ao elipsoide.
Passo 2
Primeiro encontramos
Da última equação vem .
Agora, o vetor tangente é
logo em
temos
Passo 3
O gradiente de
é
No ponto
resulta
Portanto
Resposta
Como o vetor tangente
é proporcional ao vetor normal
, a curva é perpendicular ao elipsoide no ponto
.