Exercício 5.11. Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
f(x)=l C(1-x^2), se x in[-1,1] 0, caso contrário á
Qual a função de distribuição acumulada de X ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade dada por:
X á
O que a gente precisa encontrar é a função de distribuição acumulada de $ X $, que é basicamente a função que nos diz a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Para isso, vamos precisar entender como a função densidade está definida e garantir que ela seja uma distribuição válida.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor da constante $ C $. Para que $ f(x) $ seja uma função de densidade válida, a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
C
Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas para $ x $ entre -1 e 1, a gente vai calcular:
f(x)

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
integral-1^1 (1 - x^2) , dx = integral-1^1 1 , dx - integral-1^1 x^2 , dx
Calculando cada parte:
integral-1^1 1 , dx = [x]-1^1 = 1 - (-1) = 2
integral-1^1 x^2 , dx = [x^33]-1^1 = (13 - (-1)^33) = (13 + 13) = 23
Então, a integral total fica:
2 - 23 = 63 - 23 = 43

Passo 4

Voltando à equação original para encontrar $ C $:
C
Agora que sabemos que $ C = \frac{3}{4} $, a função densidade fica:
C times 43 = 1 implies C = 34 á

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $, que é definida como:
F(x)
Vamos considerar os diferentes intervalos de $ x $:
  1. Para $ x < -1 $: Como $ f(t) = 0 $ para $ t < -1 $, temos:
F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt
  1. Para $ -1 \leq x \leq 1 $: Aqui, a gente integra $ f(t) $ de -1 até $ x $:
x
Vamos calcular essa integral:
x < -1
Calculando cada parte:
f(t) = 0
t < -1
Substituindo de volta:
F(x) = 0
Simplificando:
-1 <= x <= 1
  1. Para $ x > 1 $: Toda a distribuição acumulada já foi contabilizada, então:
f(t)

Resposta

A função de distribuição acumulada de $ X $ é dada por:
X

Exercícios relacionados