Exercício 5.11. Seja
uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
Qual a função de distribuição acumulada de X ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade dada por:
O que a gente precisa encontrar é a função de distribuição acumulada de $ X $, que é basicamente a função que nos diz a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Para isso, vamos precisar entender como a função densidade está definida e garantir que ela seja uma distribuição válida.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor da constante $ C $. Para que $ f(x) $ seja uma função de densidade válida, a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas para $ x $ entre -1 e 1, a gente vai calcular:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Então, a integral total fica:
Passo 4
Voltando à equação original para encontrar $ C $:
Agora que sabemos que $ C = \frac{3}{4} $, a função densidade fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $, que é definida como:
Vamos considerar os diferentes intervalos de $ x $:
- Para $ x < -1 $: Como $ f(t) = 0 $ para $ t < -1 $, temos:
- Para $ -1 \leq x \leq 1 $: Aqui, a gente integra $ f(t) $ de -1 até $ x $:
Vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Simplificando:
- Para $ x > 1 $: Toda a distribuição acumulada já foi contabilizada, então:
Resposta
A função de distribuição acumulada de $ X $ é dada por: