Exercício 5.9. Seja
a duração de vida de uma válvula eletrônica. Admita que
tenha fdp
Prove que
de fato define uma fdp e depois calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que provar que a função $ f(x) $ dada realmente é uma função densidade de probabilidade (fdp) e depois calcular a probabilidade de que $ X $ esteja entre $ i $ e $ j+1 $. Para isso, vamos precisar entender o que é uma fdp e como calcular probabilidades usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Uma fdp $ f(x) $ precisa satisfazer duas condições:
- $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
- A integral de $ f(x) $ sobre todo o espaço possível é igual a 1, ou seja:
Nossa função $ f(x) $ é:
Vamos verificar essas duas condições.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $. Observando a função:
- Para $ x \geq 0 $, $ b $ é uma constante positiva e $ e^{-b x} $ também é positivo, então $ b e^{-b x} \geq 0 $.
- Para $ x < 0 $, $ f(x) = 0 $, que também é não negativa.
Portanto, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a integral de $ f(x) $ de $ -\infty $ a $ +\infty $ é igual a 1. Como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $, podemos simplificar a integral:
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que:
Então:
Portanto, a integral é igual a 1, satisfazendo a segunda condição.
Passo 5
Agora que provamos que $ f(x) $ é uma fdp, vamos calcular a probabilidade $ P(i \leq X < j+1) $. Isso significa calcular a integral de $ f(x) $ de $ i $ até $ j+1 $:
Vamos resolver essa integral:
Resposta
A probabilidade $ P(i \leq X < j+1) $ é igual a $ e^{-b i} - e^{-b (j+1)} $.