Exercício 5.8. Considere a função
Para que valor de C temos que a função f é uma função densidade de probabilidade? Repita o problema considerando a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x) $ definida de duas formas diferentes dependendo do valor de $ x $. A missão é encontrar o valor da constante $ C $ que faz com que $ f(x) $ seja uma função densidade de probabilidade. Para isso, precisamos lembrar que uma função densidade de probabilidade deve atender a duas condições:
- Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
- Integral igual a 1: A área total sob a curva de $ f(x) $ deve ser igual a 1.
Vamos usar esses conceitos para encontrar $ C $ nas duas versões do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
Queremos que $ f(x) $ seja uma função densidade de probabilidade. Já que a função é zero fora do intervalo $ (0, \frac{3}{2}) $, só precisamos nos preocupar com esse intervalo para verificar as condições.
Passo 3
Condição 1: Não-negatividade
Vamos garantir que $ f(x) \geq 0 $ no intervalo $ 0 < x < \frac{3}{2} $:
No intervalo $ 0 < x < \frac{3}{2} $, $ x $ é positivo e $ 3 - x^2 $ também é positivo, já que $ x^2 < \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} < 3 $. Portanto, $ f(x) \geq 0 $ nesse intervalo.
Passo 4
Condição 2: Integral igual a 1
Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de $ 0 $ a $ \frac{3}{2} $ e igualar a 1 para encontrar $ C $:
Primeiro, calculamos a integral sem o $ C $:
Agora, avaliamos de $ 0 $ a $ \frac{3}{2} $:
Então, temos:
Resposta
Para a segunda função, o valor de $ C $ é $ \frac{1}{2} $.