Exercício 5.8. Considere a função
f(x)=l C cdot(3 x-x^3), se 0á
Para que valor de C temos que a função f é uma função densidade de probabilidade? Repita o problema considerando a função
f(x)=l C cdot(3 x-x^3), se 0á

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x) $ definida de duas formas diferentes dependendo do valor de $ x $. A missão é encontrar o valor da constante $ C $ que faz com que $ f(x) $ seja uma função densidade de probabilidade. Para isso, precisamos lembrar que uma função densidade de probabilidade deve atender a duas condições:
  1. Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
  2. Integral igual a 1: A área total sob a curva de $ f(x) $ deve ser igual a 1.
Vamos usar esses conceitos para encontrar $ C $ nas duas versões do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
f(x) = C cdot (3x - x^3), & se 0 < x < 32 0, & caso contrário á
Queremos que $ f(x) $ seja uma função densidade de probabilidade. Já que a função é zero fora do intervalo $ (0, \frac{3}{2}) $, só precisamos nos preocupar com esse intervalo para verificar as condições.

Passo 3

Condição 1: Não-negatividade
Vamos garantir que $ f(x) \geq 0 $ no intervalo $ 0 < x < \frac{3}{2} $:
f(x) >= 0
No intervalo $ 0 < x < \frac{3}{2} $, $ x $ é positivo e $ 3 - x^2 $ também é positivo, já que $ x^2 < \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} < 3 $. Portanto, $ f(x) \geq 0 $ nesse intervalo.

Passo 4

Condição 2: Integral igual a 1
Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de $ 0 $ a $ \frac{3}{2} $ e igualar a 1 para encontrar $ C $:
f(x)
Primeiro, calculamos a integral sem o $ C $:
0
Agora, avaliamos de $ 0 $ a $ \frac{3}{2} $:
32
Então, temos:
C

Resposta

Para a segunda função, o valor de $ C $ é $ \frac{1}{2} $.

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