Exercício 5.12. A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X que representa a vida útil de certo tipo de equipamento eletrônico, é dada por
f(x)=l 10x^2, se x >= 10 0, caso contrário á
Encontre a função de distribuição acumulada e calcule P(X <= 20).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que representa a vida útil de um equipamento eletrônico. A função densidade de probabilidade de $ X $ é dada por:
X á
Nosso objetivo aqui é encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) dessa variável e depois calcular a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 20, ou seja, $ P(X \leq 20) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada (CDF). A CDF, denotada por $ F(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Matematicamente, isso é representado por:
F(x)
Para encontrar $ F(x) $, precisamos integrar a função densidade de probabilidade $ f(x) $ de menos infinito até $ x $.

Passo 3

No nosso caso, a função $ f(x) $ é zero para $ x < 10 $. Isso significa que a probabilidade de $ X $ ser menor que 10 é zero. Portanto, para $ x < 10 $:
f(x)

Passo 4

Agora, para $ x \geq 10 $, vamos calcular a integral da função $ f(x) $:
x >= 10
Vamos resolver essa integral. A integral de $ \frac{10}{t^{2}} $ em relação a $ t $ é:
f(x)

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 10 a $ x $:
x
Então, para $ x \geq 10 $:
F(x) = [ -10t ]10^x = ( -10x ) - ( -1010 ) = -10x + 1

Passo 6

Agora que temos a função de distribuição acumulada $ F(x) $, vamos calcular $ P(X \leq 20) $. Isso significa substituir $ x $ por 20 na função $ F(x) $:
F(x)

Resposta

A função de distribuição acumulada é:
F(x) = 0, & se x < 10 1 - 10x, & se x >= 10
E a probabilidade $ P(X \leq 20) $ é igual a 0,5.

Exercícios relacionados