Exercício 5.12. A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória
que representa a vida útil de certo tipo de equipamento eletrônico, é dada por
Encontre a função de distribuição acumulada e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que representa a vida útil de um equipamento eletrônico. A função densidade de probabilidade de $ X $ é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) dessa variável e depois calcular a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 20, ou seja, $ P(X \leq 20) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada (CDF). A CDF, denotada por $ F(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Matematicamente, isso é representado por:
Para encontrar $ F(x) $, precisamos integrar a função densidade de probabilidade $ f(x) $ de menos infinito até $ x $.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(x) $ é zero para $ x < 10 $. Isso significa que a probabilidade de $ X $ ser menor que 10 é zero. Portanto, para $ x < 10 $:
Passo 4
Agora, para $ x \geq 10 $, vamos calcular a integral da função $ f(x) $:
Vamos resolver essa integral. A integral de $ \frac{10}{t^{2}} $ em relação a $ t $ é:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 10 a $ x $:
Então, para $ x \geq 10 $:
Passo 6
Agora que temos a função de distribuição acumulada $ F(x) $, vamos calcular $ P(X \leq 20) $. Isso significa substituir $ x $ por 20 na função $ F(x) $:
Resposta
A função de distribuição acumulada é:
E a probabilidade $ P(X \leq 20) $ é igual a 0,5.