Exercício 11. Sejam A1, A2, ldots, An pontos distintos. O ponto G tal que
G A1+G A2+cdots+G An=0
é chamado de baricentro dos pontos A1, A2, ldots, An. Mostre que, dado um ponto O qualquer, temos
G=O+1n(O A1+O A2+cdots+O An)

Passo 1

O enunciado define o baricentro G dos pontos A1,dots,An como o ponto que satisfaz
GA1+GA2+cdots+GAn=0
Queremos mostrar que, tomando um ponto qualquer O como referência, a posição de G é dada por
G ;=; O ;+;1nl(OA1+cdots+OAnr)
O conteúdo fundamental aqui é usar a relação de Chasles em cada vetor GAi e depois resolver a soma que define G.

Passo 2

Aplicamos a relação de Chasles para ligar GAi com OAi e OG. De fato, \r
GAi =GO+OAi =-,OG+OAi Longrightarrow GAi=OAi-OG

Passo 3

Somamos a expressão acima para i=1,2,dots,n. Como por definição sumi=1^nGAi=0, temos
sumi=1^nl(OAi-OGr) =sumi=1^nOAi ;-; sumi=1^nOG =0
Mas sumi=1^nOG=n,OG. Logo
sumi=1^nOAi-n,OG=0 Longrightarrow n,OG =sumi=1^nOAi

Passo 4

Isolando OG obtemos
OG =1nsumi=1^nOAi
Como o ponto G é obtido a partir de O pelo vetor OG, concluímos
G ;=; O+OG ;=; O +; 1nl(OA1+cdots+OAnr)

Resposta

G =O +1nl(OA1+OA2+cdots+OAnr)

Exercícios relacionados