Exercício 11. Sejam
pontos distintos.
ponto
tal que
é chamado de baricentro dos pontos
A1, A2, ldots, An . Mostre que, dado um ponto
O qualquer, temos
G=O+1n(O A1+O A2+cdots+O An)
Passo 1
O enunciado define o baricentro
G dos pontos
A1,dots,An como o ponto que satisfaz
Queremos mostrar que, tomando um ponto qualquer
O como referência, a posição de
G é dada por
O conteúdo fundamental aqui é usar a relação de Chasles em cada vetor
GAi e depois resolver a soma que define
G .
Passo 2
Aplicamos a relação de Chasles para ligar
GAi com
OAi e
OG . De fato, \r
Passo 3
Somamos a expressão acima para
i=1,2,dots,n . Como por definição
sumi=1^nGAi=0 , temos
Mas
sumi=1^nOG=n,OG . Logo
Passo 4
Isolando
OG obtemos
Como o ponto
G é obtido a partir de
O pelo vetor
OG , concluímos