Questāo 2
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ponto(s).
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questâo
Qual condição garante que
é injetiva?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
ponto(s).
P Marcar
questâo
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, a questão é a seguinte: temos uma transformação linear
e querem saber qual condição garante que
é injetiva.
Conteúdo: Álgebra Linear – transformações lineares, núcleo, imagem e teorema da dimensão (rank-nullity).
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: Álgebra Linear – transformações lineares, núcleo, imagem e teorema da dimensão (rank-nullity).
O que a gente vai precisar:
- Definição de transformação injetiva
- Teorema da dimensão (rank-nullity)
Passo 2
Primeiro, o que significa
injetiva?
Uma transformação é injetiva se, e só se,
implica
.
Isso é equivalente a dizer que o único vetor que vai para o vetor zero é o próprio vetor zero, ou seja:
Uma transformação
Isso é equivalente a dizer que o único vetor que vai para o vetor zero é o próprio vetor zero, ou seja:
Passo 3
Agora entra o teorema da dimensão (rank-nullity). Ele diz que, para
, vale:
No nosso caso,
, então
Passo 4
Como a injetividade exige
, temos
.
Substituindo no teorema da dimensão:
Substituindo no teorema da dimensão:
Mas a condição primordial para injetividade é
.
Passo 5
Concluindo, a opção que garante que
é injetiva é aquela que diz que o núcleo de
tem dimensão zero.
Resposta
e.