Questāo 2

Ainda não respondida
Vale 1,25
ponto(s).
P Marcar
questâo
Qual condição garante que T: R^4 R^4 é injetiva?
Escolha uma opção:
a. dim(Im(T))=4
b. dim(Im(T))=2
c. dim(Im(T))=3
d. dim(Núc<=o(T))=1
e. dim(Núc<=o(T))=0

Passo 1

Beleza, a questão é a seguinte: temos uma transformação linear
T: R^4 to R^4
e querem saber qual condição garante que T é injetiva.
Conteúdo: Álgebra Linear – transformações lineares, núcleo, imagem e teorema da dimensão (rank-nullity).
O que a gente vai precisar:
  • Definição de transformação injetiva
  • Teorema da dimensão (rank-nullity)

Passo 2

Primeiro, o que significa T injetiva?
Uma transformação T é injetiva se, e só se, T(v)=T(w) implica v=w.
Isso é equivalente a dizer que o único vetor que vai para o vetor zero é o próprio vetor zero, ou seja:
ker(T)=0

Passo 3

Agora entra o teorema da dimensão (rank-nullity). Ele diz que, para T: R^ntoR^m, vale:
dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = n
No nosso caso, n=4, então
dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = 4

Passo 4

Como a injetividade exige ker(T)=0, temos dim(ker(T))=0.
Substituindo no teorema da dimensão:
0 + dim(Im(T)) = 4 Longrightarrow dim(Im(T))=4
Mas a condição primordial para injetividade é dim(ker(T))=0.

Passo 5

Concluindo, a opção que garante que T é injetiva é aquela que diz que o núcleo de T tem dimensão zero.

Resposta

e. dim(Núc<=o(T)) = 0ú

Exercícios relacionados