Questão 1
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Determine a transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,1)=(2,0) e T(2,3)=(1,5).
Escolha uma opção:
a. T(x, y)=(2 x, x+y)
b. T(x, y)=(x-y, 3 x+y)
c. T(x, y)=(5 x-y,-5 x+3 y)
d. T(x, y)=(x+y, 2 x-y)
e. T(x, y)=(3 x-y,-2 x+2 y)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar uma transformação linear T:R^2toR^2 que manda (1,1) em (2,0) e (2,3) em (1,5). O assunto aqui é transformações lineares e matrizes 2times2. Vamos descobrir a,b,c,d de
T(x,y)=(a x + b y,;c x + d y)

Passo 2

Não surta, mas por linearidade a gente define
T(1,0)=(a,c), T(0,1)=(b,d)
Aí, para qualquer (x,y),
T(x,y)=x,T(1,0)+y,T(0,1) =(a x + b y,;c x + d y)

Passo 3

Plugando no enunciado:
Para (1,1):
a + b = 2, c + d = 0
Para (2,3):
2a + 3b = 1, 2c + 3d = 5

Passo 4

Resolvend o sistema para a,b:
a + b = 2 implies b = 2 - a,
2a + 3b = 1 implies 2a + 3(2 - a) = 1 ;Longrightarrow; -a = -5 ;Longrightarrow; a = 5,; b = -3

Passo 5

Agora para c,d:
c + d = 0 implies d = -c,
2c + 3d = 5 implies 2c + 3(-c) = 5 ;Longrightarrow; -c = 5 ;Longrightarrow; c = -5,; d = 5

Passo 6

Juntando a=5,b=-3,c=-5,d=5, dá
T(x,y) = (5x - 3y,;-5x + 5y)

Resposta

T(x,y) = (5x - 3y,,-5x + 5y)

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