Exercício 11. Sejam
. Mostre que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
e
são inteiros e que ambos são positivos, isto é,
O que precisamos mostrar é que o produto
também é positivo. Vamos usar o fato de que inteiros positivos correspondem a naturais não nulos e recorrer a uma prova por indução em
, usando também a propriedade de que a soma de dois inteiros positivos é positiva.
Passo 2
Primeiro, note que
implica que
é um natural maior ou igual a
. A multiplicação em
pode ser definida recursivamente para fixo
por
Como
, podemos escrever
e aplicar indução sobre esse índice.
Passo 3
Base da indução (
):
e como
por hipótese, segue que
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para algum
com
valha
Queremos mostrar que
Passo 5
Usando a definição recursiva da multiplicação,
Pela hipótese de indução temos
, e sabemos também que
. Como a soma de dois inteiros positivos é positivo, concluímos
ou seja,
Resposta
Portanto, por indução em
, mostramos que sempre que
e
em
, então