Exercício 11. Sejam alpha, beta, gamma in Z. Mostre que:
Se alpha>0 e beta>0, então alpha beta>0.

Passo 1

O enunciado diz que alpha e beta são inteiros e que ambos são positivos, isto é,
alpha>0 e beta>0
O que precisamos mostrar é que o produto alphabeta também é positivo. Vamos usar o fato de que inteiros positivos correspondem a naturais não nulos e recorrer a uma prova por indução em beta, usando também a propriedade de que a soma de dois inteiros positivos é positiva.

Passo 2

Primeiro, note que beta>0 implica que beta é um natural maior ou igual a 1. A multiplicação em Z pode ser definida recursivamente para fixo alpha por
alphacdot 0 = 0, alphacdot (n+1) = (alphacdot n) + alpha
Como beta>0, podemos escrever beta=1,2,3,dots e aplicar indução sobre esse índice.

Passo 3

Base da indução ( beta=1):
alphacdot 1 = alpha,
e como alpha>0 por hipótese, segue que
alphacdot 1 > 0

Passo 4

Passo indutivo: suponha que para algum kinN com k>=1 valha
alphacdot k > 0
Queremos mostrar que
alphacdot (k+1) > 0

Passo 5

Usando a definição recursiva da multiplicação,
alphacdot (k+1) = (alphacdot k) + alpha
Pela hipótese de indução temos alphacdot k>0, e sabemos também que alpha>0. Como a soma de dois inteiros positivos é positivo, concluímos
(alphacdot k) + alpha > 0,
ou seja,
alphacdot (k+1)>0

Resposta

Portanto, por indução em beta, mostramos que sempre que alpha>0 e beta>0 em Z, então
alphabeta>0

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