Exercício 11. Sejam
. Mostre que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado está em
, que é um anel ordenado: há compatibilidade da ordem com a adição e a multiplicação. Precisamos usar duas propriedades básicas:
- Se
então o inverso aditivo . - Se
e então .
Nosso objetivo é, dadase , mostrar que .
Passo 2
Como
, seu inverso aditivo satisfaz
Do mesmo modo, de
segue
Passo 3
Vamos reescrever
em termos de
e
. Usamos que, em
,
e que
. Então
Passo 4
Agora temos
e
. Pela compatibilidade da multiplicação com a ordem em
, o produto dessas duas quantidades positivas também é positivo:
Usando o resultado do passo anterior, concluímos