Exercício 11. Sejam alpha, beta, gamma in Z. Mostre que:
Se alpha<0 e beta<0, então alpha beta>0.

Passo 1

O enunciado está em Z, que é um anel ordenado: há compatibilidade da ordem com a adição e a multiplicação. Precisamos usar duas propriedades básicas:
  1. Se a<0 então o inverso aditivo -a>0.
  2. Se x>0 e y>0 então xy>0.
    Nosso objetivo é, dadas alpha<0 e beta<0, mostrar que alphabeta>0.

Passo 2

Como alpha<0, seu inverso aditivo satisfaz
-alpha>0
Do mesmo modo, de beta<0 segue
-beta>0

Passo 3

Vamos reescrever alphabeta em termos de -alpha e -beta. Usamos que, em Z, -a=(-1),a e que (-1)^2=1. Então
(-alpha)(-beta) =l((-1)alphar)l((-1)betar) =(-1)^2,alphabeta =1cdotalphabeta =alphabeta

Passo 4

Agora temos -alpha>0 e -beta>0. Pela compatibilidade da multiplicação com a ordem em Z, o produto dessas duas quantidades positivas também é positivo:
(-alpha)(-beta)>0
Usando o resultado do passo anterior, concluímos
alphabeta>0

Resposta

alphabeta>0.

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