Seja
Então mostre que
.

Passo 1

O enunciado define para xinZ o valor absoluto
|x| := x, & se x>=0, -x, & se x<0,
e pede para mostrar que
|x|=0Long<=ftrightarrow x=0

Passo 2

Vamos provar a implicação direta l(|x|=0implies x=0r). Suponha |x|=0. Existem dois casos pelo definição de valor absoluto:
  1. Se x>=0, então |x|=x. Como |x|=0, segue x=0.
  2. Se x<0, então |x|=-x. Como |x|=0, temos -x=0, isto é, x=0.
Em ambos os casos concluímos x=0.

Passo 3

Agora provamos a implicação recíproca l(x=0implies|x|=0r). Se x=0, então certamente x>=0, e pela definição
|x|=x=0

Passo 4

Juntando os dois sentidos, temos
|x|=0Long<=ftrightarrow x=0

Resposta

Mostramos que |x|=0 se, e somente se, x=0.

Exercícios relacionados