Seja
Então mostre que
.
.
Passo 1
O enunciado define para
o valor absoluto
e pede para mostrar que
Passo 2
Vamos provar a implicação direta
l(|x|=0implies x=0r) . Suponha
|x|=0 . Existem dois casos pelo definição de valor absoluto:
-
Se
, entãox>=0 . Como|x|=x , segue|x|=0 .x=0 -
Se
, entãox<0 . Como|x|=-x , temos|x|=0 , isto é,-x=0 .x=0
Em ambos os casos concluímos
x=0 .
Passo 3
Agora provamos a implicação recíproca
l(x=0implies|x|=0r) . Se
x=0 , então certamente
x>=0 , e pela definição
Passo 4
Juntando os dois sentidos, temos
Resposta
Mostramos que
|x|=0 se, e somente se,
x=0 .