Exercício 11. Sejam \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1) encontre um vetor de módulo 15 que tem o mesmo sentido de \vec{u}-\vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede um vetor de módulo 15 que tenha o mesmo sentido do vetor \vec{u}-\vec{v}, onde \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1). O conteúdo aqui envolve subtração de vetores, cálculo de módulo e uso de vetor unitário para obter direção.

Passo 2

Calculamos a diferença entre \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u}-\vec{v} = (1,0)-(0,1) = (1,\,-1).

Passo 3

Determinamos o módulo de \vec{u}-\vec{v}:
\|\vec{u}-\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Passo 4

Obtemos o vetor unitário na direção de \vec{u}-\vec{v} dividindo pelo seu módulo:
\frac{\vec{u}-\vec{v}}{\|\vec{u}-\vec{v}\|} = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 5

Multiplicamos esse vetor unitário por 15 para ter módulo 15:
15 \,\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{15}{\sqrt{2}},-\tfrac{15}{\sqrt{2}}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{15\sqrt{2}}{2},-\tfrac{15\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Resposta

\bigl(\tfrac{15}{\sqrt{2}},-\tfrac{15}{\sqrt{2}}\bigr), ou equivalentemente \bigl(\tfrac{15\sqrt{2}}{2},-\tfrac{15\sqrt{2}}{2}\bigr).

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