Exercício 12. Diga se é verdadeira ou falsa as seguintes afirmações. Justifique a sua resposta.
Se \vec{u} e \vec{w} são vetores ortogonais então \vec{v}=\operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v}+\operatorname{proj}_{\vec{w}} \vec{v}.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dados vetores \vec u e \vec w ortogonais, vale sempre
\vec v \;=\;\proj_{\vec u}\vec v\;+\;\proj_{\vec w}\vec v.
O conteúdo é projeção ortogonal de um vetor sobre vetores ortogonais e a decomposição ortogonal.

Passo 2

Recordando a definição: para vetor não-nulo \vec u,
\proj_{\vec u}\vec v \;=\;\frac{\vec u\cdot\vec v}{\vec u\cdot\vec u}\,\vec u,
e analogamente para \proj_{\vec w}\vec v.

Passo 3

Se \vec u e \vec w são ortogonais e não nulos, então todo \vec v\in\mathbb R^n pode ser escrito de modo único como
\vec v = a\,\vec u \;+\; b\,\vec w \;+\;\vec z,
com \vec z\perp\vec u e \vec z\perp\vec w.

Passo 4

Pela definição de projeção segue
\proj_{\vec u}\vec v = a\,\vec u, \quad \proj_{\vec w}\vec v = b\,\vec w.
Logo
\proj_{\vec u}\vec v + \proj_{\vec w}\vec v = a\,\vec u + b\,\vec w = \vec v - \vec z.
Para que isso seja igual a \vec v precisamos de \vec z=\vec 0, ou seja, \vec v deve pertencer ao subespaço gerado por \{\vec u,\vec w\}.

Passo 5

Em geral \vec z\neq\vec 0. Basta um contra-exemplo simples em \mathbb R^3:
\vec u=(1,0,0), \vec w=(0,1,0) e \vec v=(0,0,1).
Então
\proj_{\vec u}\vec v = (0,0,0), \quad \proj_{\vec w}\vec v = (0,0,0),
e
\proj_{\vec u}\vec v + \proj_{\vec w}\vec v = (0,0,0)\neq(0,0,1)=\vec v.

Resposta

A afirmação é falsa.

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