Exercício 12. Diga se é verdadeira ou falsa as seguintes afirmações. Justifique a sua resposta.
Se
e
são vetores ortogonais então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dados vetores
e
ortogonais, vale sempre
O conteúdo é projeção ortogonal de um vetor sobre vetores ortogonais e a decomposição ortogonal.
Passo 2
Recordando a definição: para vetor não-nulo
,
e analogamente para
.
Passo 3
Se
e
são ortogonais e não nulos, então todo
pode ser escrito de modo único como
com
e
.
Passo 4
Pela definição de projeção segue
Logo
Para que isso seja igual a
precisamos de
, ou seja,
deve pertencer ao subespaço gerado por
.
Passo 5
Em geral
. Basta um contra-exemplo simples em
:
,
e
.
Então
Então
e
Resposta
A afirmação é falsa.