Exercício 9. Sejam \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(3,5,7). Determine os vetores unitários que têm a mesma direção de \vec{u}+\vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(3,5,7) e pede os vetores unitários que têm a mesma direção de \vec{u}+\vec{v}. Vamos usar as operações de soma de vetores e a normalização (dividir um vetor pelo seu módulo) para obter vetores de comprimento 1.

Passo 2

Calcular a soma
\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = (1+3,\;2+5,\;3+7) = (4,7,10).

Passo 3

Determinar o módulo de \vec{w}. Temos
\|\vec{w}\| = \sqrt{4^2 + 7^2 + 10^2} = \sqrt{16 + 49 + 100} = \sqrt{165}.

Passo 4

Normalizar \vec{w} para obter o vetor unitário na mesma direção (e também o de direção oposta). Logo, os vetores são
\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|} = \Bigl(\frac{4}{\sqrt{165}},\,\frac{7}{\sqrt{165}},\,\frac{10}{\sqrt{165}}\Bigr)
e
-\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|} = \Bigl(-\frac{4}{\sqrt{165}},\,-\frac{7}{\sqrt{165}},\,-\frac{10}{\sqrt{165}}\Bigr).

Resposta

\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{165}},\,\tfrac{7}{\sqrt{165}},\,\tfrac{10}{\sqrt{165}}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{4}{\sqrt{165}},\,-\tfrac{7}{\sqrt{165}},\,-\tfrac{10}{\sqrt{165}}\Bigr).

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