Exercício 11. Suponha que
,
são funções duas vezes diferenciáveis que parametrizam uma curva. Dado ponto da curva tal que
e
existe, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para expressar a segunda derivada
de uma curva parametrizada por
e
, em termos das derivadas em
. Vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas paramétricas: primeiro obtemos
pela regra da cadeia e depois aplicamos a regra da diferença de variáveis para calcular
.
Passo 2
Pela regra da cadeia para variáveis paramétricas, a derivada primeira é
Passo 3
Para obter a segunda derivada em relação a
, lembramos que
.
Logo,
Logo,
Passo 4
Dentro do derivar em
, aplicamos a regra do quociente com
e
:
Substituindo em cima, obtemos