Exercício 11. Suponha que x=x(t), y=y(t) são funções duas vezes diferenciáveis que parametrizam uma curva. Dado ponto da curva tal que x^prime(t) neq 0 e d^2 y / d x^2 existe, mostre que
d^2 yd x^2=x^prime(t) y^prime prime(t)-y^prime(t) x^prime prime(t)[x^prime(t)]^3

Passo 1

O enunciado pede para expressar a segunda derivada dfracd^2ydx^2 de uma curva parametrizada por x=x(t) e y=y(t), em termos das derivadas em t. Vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas paramétricas: primeiro obtemos dfracdydx pela regra da cadeia e depois aplicamos a regra da diferença de variáveis para calcular dfracddxl(dfracdydxr).

Passo 2

Pela regra da cadeia para variáveis paramétricas, a derivada primeira é
dydx = dydtdxdt = y'(t)x'(t)

Passo 3

Para obter a segunda derivada em relação a x, lembramos que
ddx = 1dx/dt,ddt = 1x'(t)ddt.
Logo,
d^2ydx^2 = ddxl(y'(t)x'(t)r) = 1x'(t),ddtl(y'(t)x'(t)r)

Passo 4

Dentro do derivar em t, aplicamos a regra do quociente com u=y'(t) e v=x'(t):
ddtl(uvr) = u',v - u,v'v^2 = y''(t),x'(t) - y'(t),x''(t)[x'(t)]^2
Substituindo em cima, obtemos
d^2ydx^2 = 1x'(t);y''(t),x'(t) - y'(t),x''(t)[x'(t)]^2 = x'(t),y''(t) - y'(t),x''(t)[x'(t)]^3

Resposta

d^2ydx^2 = x'(t),y''(t) - y'(t),x''(t)l[x'(t)r]^3

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