e pede para mostrar que f é contínua em todo o domínio.
Precisamos então verificar continuidade em dois tipos de ponto: 1. Pontos (x,y) com yneq0. 2. O ponto (0,0).
Passo 2
Para qualquer (x0,y0) com y0neq0, note que
f(x,y)=xcdot senl(tfrac1yr)
é composição e produto de funções contínuas em torno de (x0,y0):
– A função (x,y)mapsto x é contínua.
– A função (x,y)mapsto tfrac1y é contínua sempre que yneq0.
– A função tmapstosen(t) é contínua para todo t.
Logo o produto dessas três é contínuo em qualquer (x0,y0) com y0neq0.
Passo 3
Resta verificar continuidade em (0,0). Queremos mostrar que
Mas |x| <= raizx^2 + y^2. Portanto, se escolhermos de<a = varepsilon, sempre que raizx^2 + y^2 < de<a teremos
|f(x,y) - 0| <= raizx^2 + y^2 < de<a = varepsilon
Isso mostra o critério varepsilon–de<a de continuidade em (0,0).
Resposta
A função f é contínua em todo o domínio, pois é composição de funções contínuas em todos os pontos com y neq 0 e satisfaz o critério varepsilon–de<a em (0,0).