Exercicio 14. Seja
Mostre que (f] é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= xsenl(tfrac1yr),&se yneq0, 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f é contínua em todo o domínio.
Precisamos então verificar continuidade em dois tipos de ponto:
1. Pontos (x,y) com yneq0.
2. O ponto (0,0).

Passo 2

Para qualquer (x0,y0) com y0neq0, note que
f(x,y)=xcdot senl(tfrac1yr)
é composição e produto de funções contínuas em torno de (x0,y0):
– A função (x,y)mapsto x é contínua.
– A função (x,y)mapsto tfrac1y é contínua sempre que yneq0.
– A função tmapstosen(t) é contínua para todo t.
Logo o produto dessas três é contínuo em qualquer (x0,y0) com y0neq0.

Passo 3

Resta verificar continuidade em (0,0). Queremos mostrar que
lim(x,y)to(0,0) f(x,y) = f(0,0) = 0
Note que, para y neq 0, vale a desigualdade
l|f(x,y) - 0r| = l|x senl(tfrac1yr)r| <= |x| cdot l|senl(tfrac1yr)r| <= |x|
Mas |x| <= raizx^2 + y^2. Portanto, se escolhermos de<a = varepsilon, sempre que
raizx^2 + y^2 < de<a teremos
|f(x,y) - 0| <= raizx^2 + y^2 < de<a = varepsilon
Isso mostra o critério varepsilon de<a de continuidade em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo o domínio, pois é composição de funções contínuas em todos os pontos com y neq 0 e satisfaz o critério varepsilon de<a em (0,0).

Exercícios relacionados