Exercicio 15. Seja f: R^2 backslash(0,0) R^2 a função dada por f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2.
a) Determine limite de f(x, y) quando (x, y) (0,0) ao longo da reta y=m x.
b) É possível definir f(0,0) de modo que f seja contínua em (0,0) ?

Resp:

a) 1-m^21+m^2
b) Não.

Passo 1

O enunciado define a função
f:R^2setminus(0,0)toR
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2,
e pede:
a) o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) ao longo da reta y=mx;
b) saber se dá para definir f(0,0) de modo que f seja contínua em (0,0).
O conteúdo é cálculo de limites em várias variáveis e continuidade por extensão.

Passo 2

Para seguir a reta y=mx, parametrizamos
(x,y)=(t,,m,t),
com tto0. Substituindo em f temos
f(t,m,t) =t^2-(m,t)^2t^2+(m,t)^2 =t^2-m^2t^2t^2+m^2t^2 =1-m^21+m^2,
pois t^2 cancela no numerador e denominador (para tneq0).

Passo 3

Como 1-m^21+m^2 não depende de t, o limite quando tto0 é
limtto0f(t,m,t) =1-m^21+m^2

Passo 4

O valor do limite depende de m. Para cada inclinação m surge uma constante diferente, logo não há um único valor de
lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Como não existe limite único, não dá para atribuir um valor a f(0,0) que torne f contínua em (0,0).

Resposta

a) 1-m^21+m^2
b) Não é possível.

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