Exercício 7.11. Um trocador de calor multitubular, tipo TC-1.1 deve ser construído para resfriar 800 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de glicerina de calor específico 0,58 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e densidade 0,92 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3} de 130^{\circ} \mathrm{C} para 40^{\circ} \mathrm{C}. Dispõe-se de 2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de água ( c_{p}=1,0 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} .^{\circ} \mathrm{C} ) a 25^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de película da glicerina é igual a 42 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} e o da água, que circula dentro do tubos, tem valor de 30 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. O trocador de calor vai ser feito com tubos de 1^{\prime \prime} de diâmetro externo e 6 m de comprimento. É previsto um fator de incrustação de 0,025 . Pede-se : a) a temperatura de saída da água;
b) o número de tubos necessários.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Vazão mássica de glicerina: \dot{m}_g = 800\\ \mathrm{kg/h}.
  • Calor específico da glicerina: c_{p,g} = 0{,}58\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot{}^\circ C)}.
  • Densidade da glicerina: \rho_g = 0{,}92\\ \mathrm{kg/dm^3} (não será necessária para o balanço, pois já há \dot{m}_g).
  • Temperatura da glicerina na entrada: T_{g,in}=130^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da glicerina na saída desejada: T_{g,out}=40^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão volumétrica de água: \dot{V}_w = 2{,}0\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Calor específico da água: c_{p,w}=1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot{}^\circ C)}.
  • Temperatura da água na entrada: T_{w,in}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película da glicerina (casco, lado externo dos tubos): h_g = 42\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)}.
  • Coeficiente de película da água (lado interno dos tubos): h_w = 30\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)}.
  • Fator de incrustação (fouling factor): R_f=0{,}025 (unidades compatíveis com horas·m²·°C/kcal).
  • Tubos: diâmetro externo d_o = 1'' = 0{,}0254\\ \mathrm{m}, comprimento L=6{,}0\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) a temperatura de saída da água T_{w,out};
(b) o número de tubos necessários (assumindo que a área total necessária é a soma das áreas externas dos tubos).
Observação sobre método: será usado balanço de energia para achar a carga térmica Q, depois o coeficiente global de transferência de calor U por resistências em série, o LMTD (assumirei escoamento contracorrente — justificarei no passo correspondente) e, finalmente, a área necessária A e o número de tubos.

Passo 2

Calcular a carga térmica Q removida da glicerina por balanço de energia.
A fórmula do calor extraído é:
Q = \dot{m}_g\, c_{p,g}\,(T_{g,in}-T_{g,out}).
Substituindo os valores:
Q = 800 \times 0{,}58 \times (130-40)\\ \mathrm{[kcal/h]}.
Calcule passo a passo:
130-40 = 90,
800 \times 0{,}58 = 464,
Q = 464 \times 90 = 41760\\ \mathrm{kcal/h}.
Comentário didático rápido: essa é a energia por hora que precisamos transferir da glicerina para a água. Mantive unidades em \mathrm{kcal/h} porque os coeficientes estão em \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)}.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída da água T_{w,out} usando balanço de energia entre os dois fluidos.
A energia recebida pela água é igual a Q, então:
Q = \dot{m}_w\, c_{p,w}\,(T_{w,out}-T_{w,in}).
Primeiro converto a vazão volumétrica de água para vazão mássica. A água tem densidade \rho_w \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, logo:
\dot{m}_w = \dot{V}_w \cdot \rho_w = 2{,}0\\ \mathrm{m^3/h} \times 1000\\ \mathrm{kg/m^3} = 2000\\ \mathrm{kg/h}.
Agora isolo T_{w,out}:
T_{w,out} = T_{w,in} + \frac{Q}{\dot{m}_w\, c_{p,w}}.
Substituindo:
T_{w,out} = 25^\circ\mathrm{C} + \frac{41760}{2000 \times 1{,}0}.
\frac{41760}{2000} = 20{,}88.
Portanto
T_{w,out} = 25 + 20{,}88 = 45{,}88^\circ\mathrm{C}.
Interpretação amigável: com a água disponível ela sobe aproximadamente 20{,}9^\circ\mathrm{C}, saindo a cerca de 45{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o coeficiente global de transferência de calor U considerando resistências em série: resistência do filme interno (água), resistência por incrustação (fouling) e resistência do filme externo (glicerina). A equação geral (referida à mesma área) é:
\frac{1}{U} = \frac{1}{h_w} + R_f + \frac{1}{h_g}.
Explicação breve: cada termo é uma resistência térmica por unidade de área; somam-se porque o calor passa em série (do fluido quente ao fluido frio). As unidades são coerentes porque h tem unidades \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)} e R_f está dada na unidade inversa correspondente.
Agora substituo os valores:
\frac{1}{U} = \frac{1}{30} + 0{,}025 + \frac{1}{42}\\ \mathrm{[h\cdot m^2\cdot{}^\circ C/kcal]}.
Calcule cada parcela:
\frac{1}{30} = 0{,}033333\ldots, \qquad \frac{1}{42} \approx 0{,}0238095.
Somando:
\frac{1}{U} \approx 0{,}033333 + 0{,}025 + 0{,}0238095 = 0{,}0821425.
Logo
U \approx \frac{1}{0{,}0821425} \approx 12{,}17\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)}.
Observação sobre hipótese: tratei todas as resistências referidas à mesma área (area externa dos tubos), assumindo que a diferença entre área interna e externa é desprezível para este cálculo (tubo de parede fina). Isso é uma aproximação comum em exercícios de projeto quando não se dá espessura/interno diâmetro.

Passo 5

Escolha do arranjo de escoamento para calcular o LMTD e justificativa.
Decisão: assumirei escoamento contracorrente (counterflow). Justificativa curta: muitos trocadores tipo casco-tubo são projetados para operar em contracorrente ou com passe que aproxima contracorrente para maximizar a diferença média de temperatura e melhorar a transferência de calor; se fosse paralela a eficiência seria menor e a LMTD diferente. Sem indicação contrária no enunciado, contracorrente é uma escolha padrão razoável.
Calcular o LMTD (Log Mean Temperature Difference) para contracorrente:
\Delta T_1 = T_{g,in} - T_{w,out} = 130 - 45{,}88 = 84{,}12^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{g,out} - T_{w,in} = 40 - 25 = 15^\circ\mathrm{C}.
A fórmula do LMTD é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\big)}.
Substituindo:
\Delta T_{lm} = \frac{84{,}12 - 15}{\ln\!\left(\dfrac{84{,}12}{15}\right)} = \frac{69{,}12}{\ln(5{,}608)}.
Calcule:
\ln(5{,}608) \approx 1{,}724,
\Delta T_{lm} \approx \frac{69{,}12}{1{,}724} \approx 40{,}11^\circ\mathrm{C}.
Didaticamente: o LMTD é a diferença média de temperatura eficaz entre os dois fluidos que, multiplicada por U e pela área, dá a potência térmica transferida.

Passo 6

Calcular a área de troca térmica necessária A usando a relação:
Q = U\,A\,\Delta T_{lm}.
Isolando A:
A = \frac{Q}{U\,\Delta T_{lm}}.
Substituindo os valores calculados:
A = \frac{41760}{12{,}17 \times 40{,}11}\\ \mathrm{m^2}.
Calcule o denominador:
12{,}17 \times 40{,}11 \approx 488{,}50.
Logo
A \approx \frac{41760}{488{,}50} \approx 85{,}53\\ \mathrm{m^2}.
Interpretação: precisa-se de aproximadamente 85{,}5\\ \mathrm{m^2} de área de troca (área externa dos tubos) para remover os 41760\\ \mathrm{kcal/h} com o coeficiente global estimado.

Passo 7

Calcular a área externa de um tubo e o número de tubos necessários.
Área externa de um tubo longo (flauta lateral desprezada) é:
A_{tubo} = \pi d_o L.
Substituindo d_o=0{,}0254\\ \mathrm{m} e L=6{,}0\\ \mathrm{m}:
A_{tubo} = \pi \times 0{,}0254 \times 6{,}0 \approx 3{,}1416 \times 0{,}1524 \approx 0{,}4788\\ \mathrm{m^2}.
Número de tubos:
N = \frac{A}{A_{tubo}} = \frac{85{,}53}{0{,}4788} \approx 178{,}6.
Como o número de tubos deve ser inteiro, arredondamos para cima para garantir área suficiente:
N = 179\\ \text{tubos}.
Comentário prático: em projeto real poderia-se escolher um número conveniente (múltiplo de fileiras) e considerar espaçamento, baffles, passes, perdas de carga, etc. Aqui, o cálculo pede apenas o número de tubos pela área.

Resposta

T_{w,out} \approx 45{,}9^\circ\mathrm{C}
Número de tubos: 179

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