Exercício 7.12. Em uma indústria 100 trocadores de calor casco-tubo ( TC-1.1 ), cada um com 300 tubos de 25 mm de diâmetro interno, são utilizados para condensar um vapor a 50^{\circ} \mathrm{C}, utilizando-se 1,08 \times 108 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de água de refrigeração ( c_{p}=1 \mathrm{Kcal} / \mathrm{Kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) que entra nos trocadores a 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo-se que a taxa de transferência de calor nos trocadores é 1,72 \times 10^{9} \mathrm{kcal} / \mathrm{h} e que o coeficiente global de transferência de calor é 3851,4 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, calcule:
a) a temperatura de saída da água de refrigeração;
b) o comprimento dos trocadores.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, com os números exatamente como fornecidos:
  • Número de trocadores: 100.
  • Tubos por trocador: 300.
  • Diâmetro interno dos tubos: 25\\ \mathrm{mm} = 0,025\\ \mathrm{m}.
  • Vazão mássica total da água de resfriamento: \dot{m}=1,08\times10^{8}\\ \mathrm{kg/h}.
  • Calor específico da água: c_{p}=1\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot{}^\circ C)}.
  • Temperatura de entrada da água: T_{\text{in}}=20{}^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de condensação do vapor (temperatura quente constante): T_{\text{vapor}}=50{}^\circ\mathrm{C}.
  • Taxa de transferência de calor total nos trocadores: \dot{Q}=1,72\times10^{9}\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=3851{,}4\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^{2}\cdot{}^\circ C)}.
O enunciado pede:
(a) a temperatura de saída da água de refrigeração ( T_{\text{out}});
(b) o comprimento dos trocadores (isto é, o comprimento de cada tubo, assumindo que a área é dada por A=N_{\text{tubos}}\pi d L).

Passo 2

Calcular a temperatura de saída da água usando balanço de energia simples. A ideia física: toda a potência térmica removida do vapor é absorvida pela água, portanto
\dot{Q}=\dot{m}\,c_{p}\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}).
Aqui cada símbolo significa:
  • \dot{Q} = taxa de calor retirada do vapor (kcal/h),
  • \dot{m} = vazão mássica da água (kg/h),
  • c_{p} = calor específico da água (kcal/(kg·°C)),
  • T_{\text{in}} e T_{\text{out}} = temperaturas de entrada e saída da água (°C).
Isolando T_{\text{out}}:
T_{\text{out}} = T_{\text{in}} + \frac{\dot{Q}}{\dot{m}\,c_{p}}.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos na fórmula acima:
\Delta T = \frac{\dot{Q}}{\dot{m}\,c_{p}}=\frac{1{,}72\times10^{9}}{1{,}08\times10^{8}\times 1}= \frac{1{,}72\times10^{9}}{1{,}08\times10^{8}}.
Calculemos a razão:
\Delta T \approx 15{,}9259\\ ^\circ\mathrm{C}.
Logo
T_{\text{out}} = 20 + 15{,}9259 \approx 35{,}9259\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com duas casas decimais, T_{\text{out}}\approx 35{,}93{}^\circ\mathrm{C}.
Sinal de incentivo: ótimo — já temos a temperatura de saída, agora vamos usar isso para achar o comprimento.

Passo 4

Agora vamos determinar a área de troca térmica necessária a partir da relação global de trocadores:
\dot{Q} = U\,A_{\text{total}}\,\Delta T_{\text{lm}},
onde:
  • A_{\text{total}} = área total de troca térmica (m²),
  • \Delta T_{\text{lm}} = diferença de temperatura logarítmica média (LMTD, em °C),
  • U = coeficiente global (kcal/(h·m²·°C)).
Como o vapor condensa, a temperatura quente é praticamente constante em T_{\text{vapor}}=50{}^\circ\mathrm{C}. As duas diferenças de temperatura são:
\Delta T_1 = T_{\text{vapor}} - T_{\text{in}} = 50 - 20 = 30\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{\text{vapor}} - T_{\text{out}} = 50 - 35{,}9259 \approx 14{,}0741\\ ^\circ\mathrm{C}.
A fórmula do LMTD é
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.

Passo 5

Calculemos o LMTD numericamente:
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{30 - 14{,}0741}{\ln\!\left(\dfrac{30}{14{,}0741}\right)} = \frac{15{,}9259}{\ln(2{,}1319)}.
\ln(2{,}1319)\approx 0{,}7569\quad\Rightarrow\quad \Delta T_{\text{lm}}\approx \frac{15{,}9259}{0{,}7569}\approx 21{,}04\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Agora isolamos a área total:
A_{\text{total}}=\frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_{\text{lm}}}.
Substituindo valores:
A_{\text{total}}=\frac{1{,}72\times10^{9}}{3851{,}4\times 21{,}04}.
Calculemos o denominador aproximado:
3851{,}4\times 21{,}04 \approx 81{,}047{,}5
(portanto em unidades \mathrm{kcal/(h\cdot m^{2})}\times{}^\circ\mathrm{C} \mathrm{kcal/h} no denominador). Assim:
A_{\text{total}}\approx \frac{1{,}72\times10^{9}}{8,1047{,}5\times10^{4}}\approx 21{,}229\\ \mathrm{m^{2}}\times10^{3}=21{,}229\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando, A_{\text{total}}\approx 21{,}229\\ \mathrm{m^{2}}. (Nota: mantive algarismos intermediários para evitar grande arredondamento; resultado final será apresentado com duas casas decimais.)

Passo 7

A área de troca total é obtida somando a área lateral de todos os tubos. Sejam:
  • N_{\text{tubos}} = 100\times300 = 30{,}000 tubos,
  • diâmetro d=0{,}025\\ \mathrm{m},
  • comprimento de cada tubo L (m) — é o que queremos achar.
A área lateral de um tubo de comprimento L é \pi d L. Logo
A_{\text{total}} = N_{\text{tubos}}\,\pi\,d\,L.
Isolando L:
L = \frac{A_{\text{total}}}{N_{\text{tubos}}\,\pi\,d}.

Passo 8

Substituindo os números:
N_{\text{tubos}}\,\pi\,d = 30{,}000\times \pi \times 0{,}025 \approx 30{,}000\times 0{,}0785398 \approx 2{,}356{,}19\\ \mathrm{m^{2}/m}.
Portanto
L \approx \frac{21{,}228{,}6}{2{,}356{,}19}\approx 9{,}01\\ \mathrm{m}.
Ou seja, o comprimento de cada tubo (cada trocador) necessário é aproximadamente 9{,}01\\ \mathrm{m}.

Resposta

T_{\text{out}} \approx 35{,}93\\ ^\circ\mathrm{C}\n
L \approx 9{,}01\\ \mathrm{m}

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