Exercício 11.1.4. Utilizando coordenadas cilíndricas calcule
(a) \iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z, em que B é o conjunto x^{2}+y^{2} \leq 4,-5 \leq z \leq 4.
(b) \iiint_{B} z d x d y d z, em que B é o conjunto x^{2}+y^{2} \leq z \leq 4.
(c) \iiint_{B} x+y+z d x d y d z, em que B é o conjunto x \geq 0, y \geq 0 e 0 \leq z \leq 4-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de três integrais triplas sobre regiões B. Vou listar cada item e as informações fornecidas, para que fique claro o que devemos calcular:
(a) Calcular \iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy\,dz, onde
B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\\ -5\le z\le 4\}.
(b) Calcular \iiint_{B} z\,dx\,dy\,dz, onde
B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le z \le 4\}.
(c) Calcular \iiint_{B} (x+y+z)\,dx\,dy\,dz, onde
B=\{(x,y,z)\mid x\ge 0,\\ y\ge 0,\\\ 0\le z\le 4-x^{2}-y^{2}\}.
Tudo claro: três integrais, cada uma com a sua região B. A resolução vai usar coordenadas cilíndricas para simplificar as integrais envolvendo x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Pequena aula sobre coordenadas cilíndricas e a fórmula de mudança de variáveis (o básico que precisamos saber):
  • As coordenadas cilíndricas são dadas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo no plano xy.
  • O elemento de volume dx\,dy\,dz transforma-se em
dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui r é o fator jacobiano. Em linguagem simples: quando passamos de retângulos em (x,y) para retângulos em (r,\theta), cada pequeno pedaço de área ganha um fator r.
  • Em cilíndricas, x^2+y^2=r^2. Isso simplifica integrandos que dependem de x^2+y^2.
Agora aplicamos isso a cada item, montando os limites de integração em termos de r,\theta,z.

Passo 3

Resolução do item (a).
  1. Identificação: a função integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em cilíndricas isso vira \sqrt{r^{2}}=r (como r\ge0). O domínio x^{2}+y^{2}\le 4 é o disco de raio 2 no plano xy; então r varia de 0 a 2 e \theta de 0 a 2\pi. O z varia de -5 a 4.
  2. Escrita da integral em cilíndricas:
\iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=-5}^{4} \bigl(r\bigr)\cdot \bigl(r\,dz\,dr\,d\theta\bigr).
Note que o primeiro r vem da \sqrt{x^2+y^2} e o segundo r é do jacobiano.
  1. Simplificação do integrando:
\bigl(r\bigr)\cdot\bigl(r\bigr) = r^{2}.
Então a integral é
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{-5}^{4} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.
  1. Integre primeiro em z (isso é fácil porque o integrando não depende de z):
\int_{-5}^{4} r^{2}\,dz = r^{2}\bigl[ z\bigr]_{-5}^{4} = r^{2}(4-(-5)) = 9r^{2}.
  1. Agora integre em r:
\int_{0}^{2} 9r^{2}\,dr = 9\cdot \frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = 3\cdot (8) = 24.
  1. Finalmente integre em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 24\,d\theta = 24\cdot 2\pi = 48\pi.
Portanto o resultado do item (a) é 48\pi.

Passo 4

Resolução do item (b).
  1. Interpretando a região: x^{2}+y^{2}\le z \le 4. Em cilíndricas x^{2}+y^{2}=r^{2}, então z varia de r^{2} até 4. Para que haja pontos com r^{2}\le 4 precisamos de r\le 2. Logo r\in[0,2] e \theta\in[0,2\pi].
  2. Em cilíndricas o integrando z fica z e o elemento de volume é r\,dr\,d\theta\,dz. Portanto a integral é
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{z=r^{2}}^{4} z\cdot r\,dz\,dr\,d\theta.
  1. Integração em z:
\int_{r^{2}}^{4} z\,dz = \frac{1}{2}\bigl[ z^{2}\bigr]_{r^{2}}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(16 - r^{4}\bigr) = 8 - \frac{r^{4}}{2}.
Multiplicando por r (o jacobiano) obtemos a função de r:
r\left(8 - \frac{r^{4}}{2}\right) = 8r - \frac{r^{5}}{2}.
  1. Integre em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(8r - \frac{r^{5}}{2}\right)dr = 8\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{r^{6}}{6}\Big|_{0}^{2}.
Calcule cada termo:
8\cdot\frac{2^{2}}{2} = 8\cdot 2 = 16, \qquad \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{6}}{6} = \frac{1}{2}\cdot\frac{64}{6} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}.
Subtraindo:
16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3}.
  1. Integre em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{32}{3}\,d\theta = \frac{32}{3}\cdot 2\pi = \frac{64\pi}{3}.
Portanto o resultado do item (b) é \dfrac{64\pi}{3}.

Passo 5

Resolução do item (c).
  1. Identificação da região: x\ge 0,\\ y\ge 0,\\\ 0\le z\le 4-x^{2}-y^{2}. A condição 0\le z\le 4-x^{2}-y^{2} implica x^{2}+y^{2}\le 4. Juntando com x\ge0,\\ y\ge0 isto é o quarto de disco de raio 2 no plano xy. Em cilíndricas: r\in[0,2] e \theta\in[0,\pi/2]. O z vai de 0 a 4-r^{2}.
  2. Substituição do integrando: x+y+z vira, em cilíndricas,
x+y+z = r\cos\theta + r\sin\theta + z.
Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando para dr\,d\theta\,dz:
\bigl(r\cos\theta + r\sin\theta + z\bigr)\cdot r = r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z.
  1. Montagem da integral:
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{4-r^{2}} \bigl(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z\bigr)\,dz\,dr\,d\theta.
  1. Integre primeiro em z. Para os termos com \cos\theta e \sin\theta (independentes de z):
\int_{0}^{4-r^{2}} r^{2}\cos\theta\,dz = r^{2}\cos\theta\cdot(4-r^{2}),
\int_{0}^{4-r^{2}} r^{2}\sin\theta\,dz = r^{2}\sin\theta\cdot(4-r^{2}).
Para o termo r z:
\int_{0}^{4-r^{2}} r z\,dz = r\cdot \frac{1}{2}(4-r^{2})^{2} = \frac{r}{2}(4-r^{2})^{2}.
Somando, após a integração em z obtemos a função de r,\theta:
r^{2}(4-r^{2})\cos\theta + r^{2}(4-r^{2})\sin\theta + \frac{r}{2}(4-r^{2})^{2}.
  1. Agora integramos em \theta de 0 a \pi/2. Observe que
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = 1,\qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = 1,\qquad \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
Portanto a integração em \theta transforma os dois primeiros termos em
r^{2}(4-r^{2})\cdot(1+1) = 2r^{2}(4-r^{2}),
e o terceiro termo fica multiplicado por \dfrac{\pi}{2}:
\frac{\pi}{2}\cdot \frac{r}{2}(4-r^{2})^{2} = \frac{\pi}{4}\, r (4-r^{2})^{2}.
Assim a integral reduz-se a uma integral em r apenas:
\int_{0}^{2} \left[ 2r^{2}(4-r^{2}) + \frac{\pi}{4}\, r (4-r^{2})^{2} \right] dr.
  1. Calcule o primeiro termo em r:
\int_{0}^{2} 2r^{2}(4-r^{2})\,dr = 2\int_{0}^{2} (4r^{2}-r^{4})\,dr = 2\left( 4\cdot\frac{r^{3}}{3} - \frac{r^{5}}{5} \right)\Bigg|_{0}^{2}.
Avalie em r=2:
2\left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right) = 2\cdot \frac{32}{15}\cdot 2 = \frac{128}{15}.
(Em detalhe: \frac{32}{3}-\frac{32}{5}=\frac{64}{15} e multiplicando por 2 \frac{128}{15}.)
  1. Calcule o segundo termo em r:
\frac{\pi}{4}\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2} dr.
Para integrar \int r(4-r^{2})^{2}dr faça a substituição u=r^{2}, então du=2r\,dr e r\,dr=\tfrac{1}{2}du. Quando r=0 temos u=0; quando r=2 temos u=4. Assim
\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2} dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} (4-u)^{2} du = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} (16 -8u + u^{2}) du.
Calcule:
\frac{1}{2}\Bigl[16u -4u^{2} + \frac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{4} = \frac{1}{2}\Bigl(64 -64 + \frac{64}{3}\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{64}{3} = \frac{32}{3}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{\pi}{4} temos
\frac{\pi}{4}\cdot \frac{32}{3} = \frac{8\pi}{3}.
  1. Some os dois resultados (do passo 6 e do passo 7):
\frac{128}{15} + \frac{8\pi}{3}.
Portanto o resultado do item (c) é \dfrac{128}{15}+\dfrac{8\pi}{3}.

Resposta

(a) \;48\pi
(b) \;\dfrac{64\pi}{3}
(c) \;\dfrac{128}{15}+\dfrac{8\pi}{3}

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