Exercício 11.1.4. Utilizando coordenadas cilíndricas calcule
(a) \iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z, em que B é o conjunto x^{2}+y^{2} \leq 4,-5 \leq z \leq 4.
(b) \iiint_{B} z d x d y d z, em que B é o conjunto x^{2}+y^{2} \leq z \leq 4.
(c) \iiint_{B} x+y+z d x d y d z, em que B é o conjunto x \geq 0, y \geq 0 e 0 \leq z \leq 4-x^{2}-y^{2}.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de três integrais triplas sobre regiões B. Vou listar cada item e as informações fornecidas, para que fique claro o que devemos calcular:
(a) Calcular \iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy\,dz, onde
Tudo claro: três integrais, cada uma com a sua região B. A resolução vai usar coordenadas cilíndricas para simplificar as integrais envolvendo x^{2}+y^{2}.
Passo 2
Pequena aula sobre coordenadas cilíndricas e a fórmula de mudança de variáveis (o básico que precisamos saber):
As coordenadas cilíndricas são dadas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo no plano xy.
O elemento de volume dx\,dy\,dz transforma-se em
dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui r é o fator jacobiano. Em linguagem simples: quando passamos de retângulos em (x,y) para retângulos em (r,\theta), cada pequeno pedaço de área ganha um fator r.
Em cilíndricas, x^2+y^2=r^2. Isso simplifica integrandos que dependem de x^2+y^2.
Agora aplicamos isso a cada item, montando os limites de integração em termos de r,\theta,z.
Passo 3
Resolução do item (a).
Identificação: a função integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em cilíndricas isso vira \sqrt{r^{2}}=r (como r\ge0). O domínio x^{2}+y^{2}\le 4 é o disco de raio 2 no plano xy; então r varia de 0 a 2 e \theta de 0 a 2\pi. O z varia de -5 a 4.
Interpretando a região: x^{2}+y^{2}\le z \le 4. Em cilíndricas x^{2}+y^{2}=r^{2}, então z varia de r^{2} até 4. Para que haja pontos com r^{2}\le 4 precisamos de r\le 2. Logo r\in[0,2] e \theta\in[0,2\pi].
Em cilíndricas o integrando z fica z e o elemento de volume é r\,dr\,d\theta\,dz. Portanto a integral é
Portanto o resultado do item (b) é \dfrac{64\pi}{3}.
Passo 5
Resolução do item (c).
Identificação da região: x\ge 0,\\ y\ge 0,\\\ 0\le z\le 4-x^{2}-y^{2}. A condição 0\le z\le 4-x^{2}-y^{2} implica x^{2}+y^{2}\le 4. Juntando com x\ge0,\\ y\ge0 isto é o quarto de disco de raio 2 no plano xy. Em cilíndricas: r\in[0,2] e \theta\in[0,\pi/2]. O z vai de 0 a 4-r^{2}.
Substituição do integrando: x+y+z vira, em cilíndricas,
x+y+z = r\cos\theta + r\sin\theta + z.
Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando para dr\,d\theta\,dz:
\bigl(r\cos\theta + r\sin\theta + z\bigr)\cdot r = r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z.
Montagem da integral:
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{4-r^{2}} \bigl(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z\bigr)\,dz\,dr\,d\theta.
Integre primeiro em z. Para os termos com \cos\theta e \sin\theta (independentes de z):
(Em detalhe: \frac{32}{3}-\frac{32}{5}=\frac{64}{15} e multiplicando por 2 dá \frac{128}{15}.)
Calcule o segundo termo em r:
\frac{\pi}{4}\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2} dr.
Para integrar \int r(4-r^{2})^{2}dr faça a substituição u=r^{2}, então du=2r\,dr e r\,dr=\tfrac{1}{2}du. Quando r=0 temos u=0; quando r=2 temos u=4. Assim
\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2} dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} (4-u)^{2} du = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} (16 -8u + u^{2}) du.